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| Aufgabe | | [mm] $\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1+2\cos(t)}{5+4\sin(t)} \ dt}$ [/mm] ist zu berechnen |
Hallo zusammen,
Es ist nach VL [mm] $\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1+2\cos(t)}{5+4\sin(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] 2\pi\sum\limits_{w\in\mathbb{E}}res_w(f)$, [/mm] wobei [mm] $\mathbb{E}$ [/mm] die Einheitskreisscheibe ist und $f(z)$ durch Substitution [mm] $z=e^{it}$ [/mm] und Ersetzen von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] durch die entsprechenden Formeln entsteht.
Also [mm] $f(z)=\frac{1}{z}\cdot{}\frac{1+2\cdot{}\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)}{5+4\cdot{}\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)}=\frac{1}{z}\cdot{}\frac{1+z+z^{-1}}{\frac{5i+2z-2z^{-1}}{i}}=\frac{1}{z}\cdot{}\frac{i\cdot{}\left(1+z+z^{-1}\right)}{5i+2z-2z^{-1}}$
[/mm]
Nun habe ich mit $z$ erweitert, also Edit [mm] $...=\frac{1}{z}\cdot{}\frac{i(z^2+z+1)}{2z^2+5iz-2}=\frac{i(z^2+z+1)}{\red{2}z\cdot{}\left(z+\frac{i}{2}\right)\cdot{}(z+2i)}$
[/mm]
Nun passt's auch, danke an Leopold 
So, und das Ding hat einfache Pole in $z=0$ und [mm] $z=-\frac{i}{2}$.
[/mm]
Da [mm] $-2i\notin\mathbb{E}$ [/mm] ist, interessiert das nicht weiter.
Bleiben die beiden Residuen zu berechnen:
[mm] $res_0(f)=\lim\limits_{z\to 0}z\cdot{}\frac{i(z^2+z+1)}{z\cdot{}\left(z+\frac{i}{2}\right)\cdot{}(z+2i)}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{i(z^2+z+1)}{\left(z+\frac{i}{2}\right)\cdot{}(z+2i)}=\frac{i}{\frac{i}{2}\cdot{}2i}=-i$
[/mm]
[mm] $res_{-\frac{i}{2}}(f)=\lim\limits_{z\to -\frac{i}{2}}\left(z+\frac{i}{2}\right)\cdot{}\frac{i(z^2+z+1)}{z\cdot{}\left(z+\frac{i}{2}\right)\cdot{}(z+2i)}=\lim\limits_{z\to -\frac{i}{2}}\frac{i(z^2+z+1)}{z\cdot{}(z+2i)}=...=i+\frac{2}{3}$
[/mm]
Damit [mm] $2\pi\cdot{}\left(-i+\frac{2}{3}+i\right)=\frac{4}{3}\pi$
[/mm]
So, das ist meine Rechnung, der olle Computer spuckt aber als Ergebnis [mm] $\frac{2}{3}\pi$ [/mm] aus, der Hund
Ich sehe aber irgendwie vor lauter Bäumen den Wald, sprich Fehler in meiner Rechnung nicht.
Sieht ihn einer von euch?
Besten Dank vorab
schachuzipus
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Wo du schreibst "Nun habe ich mit [mm]z[/mm] erweitert", stimmt es nicht. Da fehlt erst ein [mm]z[/mm] im Nenner, was dann allerdings später wieder da ist. Dafür fehlt dann der Faktor 2.
Es erscheint mir übrigens zweckmäßig, vor der Anwendung komplexer Methoden reell zu vereinfachen:
[mm]\int_0^{2 \pi} \frac{1 + 2 \cos t}{5 + 4 \sin t}~\mathrm{d}t = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t} + \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{4 \cos t}{5 + 4 \sin t}~\mathrm{d}t = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t} + \frac{1}{2} \int_5^5 \frac{\mathrm{d}u}{u} = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t}[/mm]
Und jetzt erst die Residuenmethode.
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Hallo Leopold,
> Wo du schreibst "Nun habe ich mit [mm]z[/mm] erweitert", stimmt es
> nicht. Da fehlt erst ein [mm]z[/mm] im Nenner, was dann allerdings
> später wieder da ist.
Ja, habe ich vergessen aufzuschreiben
> Dafür fehlt dann der Faktor 2.
Wohl wahr, faktorisieren will gelernt sein, Mann Mann ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Es erscheint mir übrigens zweckmäßig, vor der Anwendung
> komplexer Methoden reell zu vereinfachen:
>
> [mm]\int_0^{2 \pi} \frac{1 + 2 \cos t}{5 + 4 \sin t}~\mathrm{d}t = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t} + \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{4 \cos t}{5 + 4 \sin t}~\mathrm{d}t = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t} + \frac{1}{2} \int_5^5 \frac{\mathrm{d}u}{u} = \int_0^{2 \pi} \frac{\mathrm{d}t}{5 + 4 \sin t}[/mm]
>
> Und jetzt erst die Residuenmethode.
Danke dir
LG
schachuzipus
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