Integral mit Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 28.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
| Aufgabe | Berechnen sie mit Hilfe des Residuensatzes
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{4+x^4}dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe gelöst, bin mir mit dem Ergebnis aber extrem unsicher.
Als erstes habe die Nullstellen bestimmt.
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{2i}i
[/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel[2]{2i}i
[/mm]
[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{2i}
[/mm]
[mm] z_{4} [/mm] = [mm] -\wurzel[2]{2i}
[/mm]
Dann habe ich den Residuensatz der Form [mm] \bruch{p_{m}(x)}{q_{n}(x)} [/mm] benutzt und nur die positiven Imaginärteile eingesetzt.
Ich erhalte damit [mm] 2\pi i(\bruch{1}{\wurzel{2i}[2i(i-1)(i+1)]} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2i}[2(1-i)(i+1)]}) [/mm] und somit
[mm] \bruch{-2\pi i}{\wurzel{2i}[2(i+1)]}
[/mm]
Ist das so richtig ? Bzw wo hab ich fehler gemacht ?
Danke im schonmal !!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Do 28.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen sie mit Hilfe des Residuensatzes
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{4+x^4}dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe obige Aufgabe gelöst, bin mir mit dem Ergebnis
> aber extrem unsicher.
>
> Als erstes habe die Nullstellen bestimmt.
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{2i}i[/mm]
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]-\wurzel[2]{2i}i[/mm]
> [mm]z_{3}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{2i}[/mm]
> [mm]z_{4}[/mm] = [mm]-\wurzel[2]{2i}[/mm]
OK, aber was genau meinst du mit [mm]\wurzel[2]{2i}[/mm]? Da gibt's im Prinzip zwei Möglichkeiten, die sich durch ein Vorzeichen unterscheiden. Im Prinzip ist es egal, was du meinst, aber du musst ja wissen, welche der vier Nullstellen oberhalb bzw. unterhalb der reellen Achse liegen.
Daher solltest du die Wurzel ausrechnen:
[mm] \wurzel[2]{2i} = 1+ i [/mm]
> Dann habe ich den Residuensatz der Form
> [mm]\bruch{p_{m}(x)}{q_{n}(x)}[/mm] benutzt und nur die positiven
> Imaginärteile eingesetzt.
>
> Ich erhalte damit [mm]2\pi i(\bruch{1}{\wurzel{2i}[2i(i-1)(i+1)]}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{\wurzel{2i}[2(1-i)(i+1)]})[/mm] und somit
> [mm]\bruch{-2\pi i}{\wurzel{2i}[2(i+1)]}[/mm]
Ich weiss nicht genau, was du da gerechnet hast, aber du solltest auf jeden Fall die Nenner ausmultiplizieren.
Die beiden Nullstellen mit positivem Imaginärteil sind [mm] $z_1=-1+i$ [/mm] und [mm] $z_3=1+i$. [/mm] Die zugehörigen Residuen sind
[mm] \bruch{1}{(z_1-z_2)(z_1-z_3)(z_1-z_4)} = \bruch{1}{(-2+2i)*(-2)*2i}[/mm] und [mm] \bruch{1}{(z_3-z_1)(z_3-z_2)(z_3-z_4)} = \bruch{1}{2*2i*(2+2i)} [/mm].
Insgesamt kommt daher [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Do 28.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Danke alles verstanden, hatte das Prinzip falsch in Erinnerung !
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