Integral mit Partialbruchzerl. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 12.08.2007 | | Autor: | schmidex |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das folgende Integral mittels Partialbruchzerlegung |
Hallo zusammen. Komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:
[mm] \int_{-1}^{0} \bruch{x^3-1}{x^3+1} \, [/mm] dx
Ich weiss garnicht wie ich anfangen soll. Da die Potenz von x im Zähler = der Potenz im nenner ist, muss ich doch als erstes eine Polynomdivision durchführen oder?Und wie dann weiter?
Danke für Hilfe bei der Lösung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 12.08.2007 | | Autor: | schmidex |
danke für die schnelle Antwort.Das mit der Parialbruchzerlegung wusste ich schon.Aber mir ist unklar, ab wann ich damit anfangen kann. Die Polynomdivision ist doch auf jeden Fall notwendig oder?
Also wenn ich [mm](x^3) / (x^3+1) [/mm] rechne.. Komme ich auf
[mm]1+ \bruch {-1}{x^3+1}[/mm]
ist das überhaupt richtig? Oder liegt schon hier mein erstes Problem? Ich war in diesem einen Tutorium nicht da, und hab voll den Anschluss verloren.-
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Hallo schmidex,
du musst doch für die PD [mm] (x^3-1):(x^3+1) [/mm] rechnen....
Dann klappt's auch mit dem Nachbarn 
Und danach weiter mit PBZ
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 12.08.2007 | | Autor: | schmidex |
ahh. okay. irgendwie, hab ich das falsch abgeschrieben. fing ja gut an
Dann komm ich jetzt auch auf was vernünftiges:
[mm]\integral_{0}^{1} 1\, dx + \integral_{0}^{1} \bruch {-2}{(x+1)(x^2-x+1)}\, dx [/mm]
das müsste doch soweit richtig sein.
Jetzt gehts an die Partialbruchzerlegung. Hoffentlich bekomm ich das hin, sonst meld ich mich nochmal.
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Die Funktion
[mm]g(x) = \frac{1 - x^3}{x^2 - x + 1} = \frac{1 - x^3}{\left( x- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} \, , \ \ x \in [-1,0][/mm]
besitzt nur positive Werte, denn Zähler und Nenner sind im gesamten Definitionsbereich offenbar stets positiv. Sie ist daher nach unten durch eine Konstante [mm]m > 0[/mm] beschränkt (kompakter Definitionsbereich):
[mm]g(x) \geq m > 0[/mm] für alle [mm]x \in [0,1][/mm]
Für [mm]a \in (-1,0)[/mm] gilt daher
[mm]\int_a^0 \frac{x^3 - 1}{x^3 + 1}~\mathrm{d}x = - \int_a^0 \frac{1}{x + 1} \cdot g(x)~\mathrm{d}x \leq -m \int_a^0 \frac{1}{x + 1}~\mathrm{d}x[/mm]
Und was heißt das für [mm]a \to -1[/mm]?
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Polynomdivision