Integral mit Parsevaltheorem < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 25.03.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgendes Integral unter Benutzung des Parsevaltheorems.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(t^{2}+1)^{-2} dt} [/mm] |
Folgendes hab ich mir bereits überlegt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(t^{2}+1)^{-2} dt} [/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{(\bruch{1}{t^{2}+1})^{2} dt}
[/mm]
Nun muss ich [mm] (\bruch{1}{t^{2}+1} [/mm] in den Frequenzbereich transformieren und erhalte laut Tabelle [mm] \wurzel{\bruch{\pi}{2}}*e^{-2|omega|}.
[/mm]
Jetzt muss ich irgendwie das Parsevaltheorem anwenden, also:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{|s(t)|^{2} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{|S(omega)|^{2} d omega}
[/mm]
Also meiner Meinung nach folgendes Integral lösen:
[mm] \bruch{1}{2\pi}\integral_{-\infty}^{\infty}{|\wurzel{\bruch{\pi}{2}}*e^{-2|omega|}|^{2} d omega}
[/mm]
Aber wie gehe ich denn da mit den beiden Grenzen um?
Wo liegt mein Fehler?
Viele Grüße
Calculu
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 26.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Für a >0 ist
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-a|x|} dx}=2*\integral_{0}^{\infty}{e^{-ax} dx}=2* \limes_{s\rightarrow\infty}\integral_{0}^{s}{e^{-ax} dx}
[/mm]
Zur Berechnung des Integrals [mm] \integral_{0}^{s}{e^{-ax} dx} [/mm] gehe vor wie üblich:
Stammfunktion bestimmen , Integrationsgrenzen einsetzen, ...
FRED
|
|
|
|
