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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Fr 03.11.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei folgende Funktion:
s(x) = [mm] \integral_{x^{3}}^{x}{cos(\wurzel{x^{2}+y^{2}})} [/mm] dy, x[0,1]
Zeige, dass s differenzierbar ist. Leite die Funktion s nach x ab. |
Hallo!
Das Ableiten fällt mir nicht schwer, ich habe da eine Formel, in die ich nur einsetzen muss:
Sei I = [mm] \integral_{a(x)}^{b(x)}{f(x,y) dy}.
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{dI(x)}{dx} [/mm] = [mm] \integral_{a(x)}^{b(x)}{\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} dy}.
[/mm]
Einsgesetzt ergibt dies in meinem Fall:
s'(x) = [mm] -\integral_{x^{3}}^{x}{sin(\wurzel{x^{2}+y^{2}})} \bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}dy [/mm] + [mm] cos(\wurzel{2}x) [/mm] - [mm] 3x^{2} cos(\wurzel{x^{2}^+x^{6}})
[/mm]
Mit diesem Ergebnis ist auch maple einverstanden.
Aber wie kann ich denn (was für das ableiten ja eine voraussetzung ist) die Differenzierbarkeit zeigen?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Fr 03.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo papillon
Du musst die Stetigkeit der Ableitung beweisen.
Gruss galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 03.11.2006 | | Autor: | papillon |
Stimmt! Hab den entsprechenden Satz entdeckt. Ich muss also nachweisen, dass der duch ableiten entstandene term stetig ist.
Aber wie mache ich das bei so einem komplizierten Ausdruck? Doch hoffentlich nicht mit der Epsilon-Delta-Definition?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Fr 03.11.2006 | | Autor: | galileo |
Um die Stetigkeit einer Funktion f(x) in einem Punkt x0 zu zeigen, ist es notwendig und hinreichend, dass die Funktion in x0 definiert ist, und, dass
[mm]\lim_{x\nearrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\searrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})[/mm]
[mm]
x\nearrow x_{0}\ \mathrm{bedeutet}\ x\to x_{0}\ \mathrm{und}\
x
Viele Grüße, 
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 03.11.2006 | | Autor: | papillon |
Danke erst mal für die prompte Hilfestellung!
Der NAchweis der Stetigkeit bereitet mir aber immer noch Schwierigkeiten. Für die Teile ohne integrale kann ich ja auch so argumentieren:
- Die Komposititon von stetigen Funktionen ist stetig
Aber wie beweise ich die Stetigkeit des Integrals?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Fr 03.11.2006 | | Autor: | galileo |
Ich habe keine Sätze vor mir auf die ich mich Stützen kann. Probiere mal
Eine differenzierbare Funktion ist stetig. Daraus folgt, dass die Aufleitung einer stetigen Funktion stetig ist.
Der wunde Punkt ist x=0. Wir müssen nur zeigen, das die Funktion im Integral stetig für x=0 ist. Versuche es mal, und sag's mir auch!
Viele Grüße,
galileo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 04.11.2006 | | Autor: | papillon |
Ich glaub ich hab's jetzt:
Laut unseren Aufschrieben reicht es für die Differenzierbarkeit aus, wenn die Ableitung des Integranden stetig ist.
Das wäre in diesem fall dann [mm] -sin\wurzel{x^{2}+y^{2}}\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Dieser Term ist als Komposition stetiger Funktionen stetig, folglich ist das Integral differenzierbar.
Einverstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Sa 04.11.2006 | | Autor: | galileo |
> Laut unseren Aufschrieben reicht es für die
> Differenzierbarkeit aus, wenn die Ableitung des Integranden
> stetig ist.
>
> Das wäre in diesem fall dann
> [mm]-sin\wurzel{x^{2}+y^{2}}\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
>
> Dieser Term ist als Komposition stetiger Funktionen stetig,
> folglich ist das Integral differenzierbar.
>
> Einverstanden?
Die Funktion [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm] ist nicht definiert im Ursprung, also auch nicht stetig. Aber in diesem Fall hast du auch ein sinus, und es gilt
[mm]\lim_{r\to 0}\bruch{\sin r}{r}=1[/mm]
Ich bin einverstanden.
Schöne Grüße
galileo
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