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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Integral hat mehrere Lösungen?
Integral hat mehrere Lösungen? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral hat mehrere Lösungen?: Verwirrung Pur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Di 08.07.2008
Autor: jarjar2008

Ich bin ein bisschen verwirrt.

Ich habe das Integral [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz} [/mm]

Ich rechne mit dem Residuensatz:

Residuum an 1 ist 3, Residuum an 0 ist 2, Integral hat somit den Wert [mm] 2*\pi*i*5 [/mm] = [mm] 10*\pi*i [/mm]

Nun rechne ich herkömmlich:
[mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\frac{5*3e^{iz}-2}{3e^{iz}-(3e^{iz}-1)}dz} [/mm] = 0
... seltsame Sache lol

Und jetzt mal mit Cauchy:

[mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5z-2}{z(z-1)}dz} [/mm] = [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5-\frac{2}{z}}{(z-1)}dz} [/mm] = [mm] 2*\pi*i*3 [/mm] = [mm] 6*\pi*i [/mm]


Drei Wege, drei Lösungen. Schon seltsam!
Wisst ihr wo meine Fehler sind und welche Methode hier am versprechensten ist?

        
Bezug
Integral hat mehrere Lösungen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 08.07.2008
Autor: fred97

1.  Statt |z|<3 solltest Du |z| =3  schreiben.
2.  dieses Integral
$ [mm] \integral_{0}^{2\cdot{}\pi}{\frac{5\cdot{}3e^{iz}-2}{3e^{iz}-(3e^{iz}-1)}dz} [/mm] $

ist falsch.  Statt "-"  muß im Nenner "." stehen, außerdem hast Du die Ableitung des Weges vergessen.

3. Bei diesem Integral

$ [mm] \integral_{|z|<3}^{}{\frac{5-\frac{2}{z}}{(z-1)}dz} [/mm] $

kannst Du die Cauchysche Intgralformel nicht anwenden, denn 5-2/z ist in 0 nicht komplex diff. -bar.






FRED

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