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Integral einer Arc-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 So 29.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{arctan\wurzel{x} dx} [/mm]

Hallo allerseits!

Ich habe Schwierigkeiten mit der obigen Aufgabe weil ich bei der partiellen Integration glaub ich in eine Sackgasse gelangt bin . Bei diesen partiellen Integrationen mit arcus- Funktionen blick ich nicht ganz durch.....[keineahnung]
Könnte mir bitte jemand helfen?

Meine Idee:

v'=1                                               v=x
[mm] u=arctan\wurzel{x} u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*\bruch{1}{1+x} [/mm]

Stimmt das bis hier?
Denn mir scheint, der zu integrierende Ausdruck wird immer komplizierter:

[mm] \integral{arctan\wurzel{x} dx}=arctan\wurzel{x}*x-\integral{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*\bruch{1}{1+x}*x dx} [/mm]

Nun habe ich versucht nochmal partiell zu integrieren, in der Hoffnung, dass alles einfacher wird:

v'=x                                       [mm] v=\bruch{x^2}{2} [/mm]
[mm] u=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*\bruch{1}{1+x} [/mm]

Nach der Produktregel:
[mm] u'=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*(-\bruch{1}{(1+x)^2})+\bruch{1}{1+x}*(-\bruch{1}{4*x^{1,5}})=\bruch{-4x^{1,5}-2*\wurzel{x}*(1+x)}{2*\wurzel{x}*(1+x)^2*4x^{1,5}} [/mm]

Also :

[mm] \integral{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*\bruch{1}{1+x}*x dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*\bruch{1}{1+x}*\bruch{x^2}{2}-\integral{\bruch{-4x^{1,5}-2*\wurzel{x}*(1+x)}{2*\wurzel{x}*(1+x)^2*4x^{1,5}}*\bruch{x^2}{2}dx} [/mm]

Ich bin ratlos....Wie soll ich hier weitermachen?

Vielen Dank im Voraus!!

Gruß   :-)

Angelika







        
Bezug
Integral einer Arc-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 So 29.06.2008
Autor: leduart

Hallo
Dein erster Schritt war gut.
danach hast du als Integrand [mm] \wurzel{x}/(1+x) [/mm]  nimm [mm] u=\wurzel{x} [/mm] dx=2udu
du kommst auf [mm] 2u^2/(1+u2)=1-1/(1+u^2) [/mm] und bist fertig.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Integral einer Arc-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 So 29.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke leduart!

Etwas verstehe ich noch nicht.Du hast doch gesagt mein 1. Schritt stimmt.
Nach der 1. partiellen Integration habe ich doch den [mm] Integrand:\bruch{x}{2*\wurzel{x}*(1+x)}. [/mm] Wieso ist das gleich deinem Integrand [mm] \bruch{\wurzel{x}}{1+x}? [/mm]  [kopfkratz3]

Könntest du mir bitte nochmal kurz erklären, wie du hier umgeformt hast?

Danke für deine Geduld! :-)

LG

Angelika

Bezug
                        
Bezug
Integral einer Arc-Funktion: gekürzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 So 29.06.2008
Autor: Loddar

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Angelika!


Leduart hat gekürzt, da ja gilt:
$$x \ = \ \left \ \wurzel{x} \ \right)^2$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Integral einer Arc-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 So 29.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG

Angelika

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