Integral darstellen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ e^{-x^{2}}dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}*\bruch{2^{2n}}{{2n \choose n}} [/mm] |
Abend! Ich soll obige Gleichung zeigen. Ich weiß bereits, dass:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{ e^{-x^{2}}dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}* \bruch{2*4*\ldots*2n}{3*5*7*\ldots*(2n+1)}[/mm]
Nun gilt ja:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ e^{-x^{2}}dx}= 2*\integral_{0}^{\infty}{ e^{x^{-2}}dx}= 2*\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}* \bruch{2*4*\ldots*2n}{3*5*7*\ldots*(2n+1)}[/mm]
Des weiteren ist:
[mm]\bruch{2*4*\ldots*2n}{3*5*7*\ldots*(2n+1)}=\bruch{2^{n}*n!}{\bruch{(2n+1)!}{2^n*n!}}=\bruch{2^{2n}*n!*n!}{(2n+1)!}=\bruch{2^{2n}}{{2n \choose n}}*\bruch{1}{2n+1}[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ e^{-x^{2}}dx}= 2*\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}*\bruch{2^{2n}}{{2n \choose n}}*\bruch{1}{2n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2\wurzel{n}}{2n+1}*\bruch{2^{2n}}{{2n \choose n}}[/mm]
Das entspricht natürlich nicht dem, was rauskommen sollte. Ich finde aber selbst nach mehrmaligem Nachrechnen meinen Fehler nicht, was mich bereits an den Rand der Verzweiflung bringt..
Wäre super, wenn da mal jemand drüber schauen könnte!
VG
maggie
|
|
| |
|
Ich denke, du hast keinen Fehler gemacht. Da ist ja aber auch noch das Limeszeichen. Erweitere zuletzt mit [mm]\sqrt{n}[/mm] und beachte [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1} = 1[/mm].
|
|
|
|
