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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgende Funktion k so, dass die von der Parabel und der ersten Achse eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt [mm] \bruch{64}{3} [/mm] besitzt.
f(x)=- [mm] \bruch{1}{4} x^{2} [/mm] + k |
Hier zuerst mein Ansatz:
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}= -\bruch{1}{4}* \integral_{-a}^{a}{( x^{2}) dx} [/mm] + [mm] k*\integral_{-a}^{a}{(1) dx}
[/mm]
also folgt: - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * ( [mm] \bruch{ a^{3}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{- a^{3}}{4} [/mm] ) + k * (a - (-a)) = [mm] \bruch{64}{3}
[/mm]
Hierzu gekommen bin ich durch die Anwendung der Produkt- und Additionsregel der Integralrechnung. -a und a habe ich als Grenze gesetzt, da es sich ja um eine Parabel handelt und die x-Werte daher ja vom Betrag her gleich sein müssen auf Grund von Symmetrie.
Wenn ich diese Gleichung jetzt in meinem Taschenrechner eingebe (TI-89;mit F2 und dann solve. Auflösen sollte der Taschenrechner nach x und a) erhalte ich jedoch nur:
2*a*x - [mm] \bruch{ x^{3}}{6} [/mm] = [mm] \bruch{64}{3}
[/mm]
Habe ich einen Fehler in meiner Rechnung, weshalb kein konkretes Ergebnis rauskommt oder ist der Taschenrechner nicht in der Lage die Gleichung zu berechnen? Gibt es in diesem Fall noch weitere Ansätze, wie ich zur Lösung kommen kann?
MfG,
Malte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Malte!
Zum einen lautet die Stammfunktion von [mm] $\integral{x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{\red{3}}$ [/mm] .
Zudem kannst Du ja auch den Wert $a_$ (also die Integrationsgrenzen) in Abhängigkeit vom Parameter $k_$ darstellen, da es sich hier ja um die Nullstellen der Parabel handelt:
[mm] $-\bruch{1}{4}x^2+k [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*\left(x^2-4k\right) [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] 2*\wurzel{k}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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