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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Berechne
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{4x+1}{x^2 +2x +10} dx}[/mm] |
Das Problem hier ist das der Nenner keine Nullstellen hat. Der von euch eben gelernter Ansatz ( Nenner ableiten und dann schauen ob man den Zähler passend umformen kann) klapt hier auch nicht. Substitution des Nenners hat auch nicht funktioniert.
Kann mir jemand einen Ansatz vorschlagen der funktionieren würde?
MfG Janina
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Hallo Janina!
> Das Problem hier ist das der Nenner keine Nullstellen hat.
Dann wird es wohl auf eine Stammfunktion mit dem [mm] $\arctan(...)$ [/mm] hinauslaufen.
Es gilt ja: [mm] $\left[ \ \arctan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+1}$
[/mm]
Formen wir zunächst etwas um (wie bereits bei der anderen Aufgabe):
[mm] $$\bruch{4x+1}{x^2 +2x +10} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x+1 \ \red{+3-3}}{x^2 +2x +10} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x+4}{x^2 +2x +10}+\bruch{-3}{x^2 +2x +10} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{2x+2}{x^2 +2x +10}-3*\bruch{1}{x^2+2x+10}$$
[/mm]
Beim ersten Bruch haben wir im Zähler nun exakt die Ableitung des Nenners. Substituiere also den Nenner.
Beim zweiten Bruch geht es noch etwas weiter:
[mm] $$\bruch{1}{x^2+2x+10} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+2x+1+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x+1)^2+3^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3^2*\left[\bruch{(x+1)^2}{3^2}+1\right]} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{9}*\bruch{1}{\left(\bruch{x+1}{3}\right)^2+1}$$
[/mm]
Nun den Klammerterm substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Parkan |
Habe jetzt lang gebraucht doch jetzt verstehe ich alles was du gemacht hast.
Komme jetzt auf das richtige Ergebnis
Danke
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