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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 19.04.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Berechn [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv. [/mm] |
Hallo,
das habe ich natürlich gemacht, allerdings auf zwei verschiedene Weisen, und mich wundern die Ergebnisse.
1. [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{1}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv=\int\frac{\sin^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv+\int\frac{\cos^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv
[/mm]
[mm] =\int -\frac{1}{2u}du+\int \frac{dz}{2z}
[/mm]
[mm] =-\ln|2u|+\ln|2z|+C=ln|\frac{z}{u}|+C=\ln|\tan(1+v)|+C.
[/mm]
2. [mm] \int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{\sin(1+v)}{\sin^2(1+v)}dv
[/mm]
Substitution [mm] \cos(1+v)=t [/mm] und Ausnutzung von [mm] \sin^2(1+v)=1-\cos^2(1+v) [/mm] liefert dann das Integral
[mm] -\int\frac{1}{1-t^2}=-artanh(t)+C=-artanh(cos(1+v))+C.
[/mm]
Mich wundert das, dass die so verscheieden sind. Mal angenommen da stünde die Differentialgleichung xv'=sin(1+v),
dann hätte ich mit Variante 1 nach Trennung der Variablen ja
[mm] \ln|\tan(1+v)|+C=\ln|x|, [/mm] was zu [mm] v=arctan(xC_0)-1 [/mm] führt.
Die zweite Variante führt aber zu
[mm] -artanh(\cos(1+v))+C=\ln|x|, [/mm] also [mm] \cos(1+v)=\tanh(-\ln|x|+C),
[/mm]
verwendet man also die Identität mit der Exponentialfunktion für die Hyperbelfunktion, erhalte ich am Ende
[mm] v=\arccos(\frac{c^2-x^2}{c^2+x^2})-1, [/mm] mit [mm] c=\exp(C).
[/mm]
Irgendwie finde ich doch beide Lösungen recht unterschiedlich. Man kann doch nicht den arccos in den arctan überführen oder?
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Hallo Unk,
> Berechn [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv.[/mm]
> Hallo,
>
> das habe ich natürlich gemacht, allerdings auf zwei
> verschiedene Weisen, und mich wundern die Ergebnisse.
>
> 1.
> [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{1}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv=\int\frac{\sin^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv+\int\frac{\cos^2(\frac{1+v}{2})}{2\sin(\frac{1+v}{2})\cos(\frac{1+v}{2})}dv[/mm]
> [mm]=\int -\frac{1}{2u}du+\int \frac{dz}{2z}[/mm]
>
> [mm]=-\ln|2u|+\ln|2z|+C=ln|\frac{z}{u}|+C=\ln|\tan(1+v)|+C.[/mm]
>
Hier lautet die Stammfunktion:
[mm]\ln|\tan(\red{\bruch{1+v}{2}})|+C.[/mm]
> 2.
> [mm]\int\frac{1}{\sin(1+v)}dv=\int\frac{\sin(1+v)}{\sin^2(1+v)}dv[/mm]
> Substitution [mm]\cos(1+v)=t[/mm] und Ausnutzung von
> [mm]\sin^2(1+v)=1-\cos^2(1+v)[/mm] liefert dann das Integral
> [mm]-\int\frac{1}{1-t^2}=-artanh(t)+C=-artanh(cos(1+v))+C.[/mm]
>
> Mich wundert das, dass die so verscheieden sind. Mal
> angenommen da stünde die Differentialgleichung
> xv'=sin(1+v),
> dann hätte ich mit Variante 1 nach Trennung der Variablen
> ja
> [mm]\ln|\tan(1+v)|+C=\ln|x|,[/mm] was zu [mm]v=arctan(xC_0)-1[/mm] führt.
>
> Die zweite Variante führt aber zu
> [mm]-artanh(\cos(1+v))+C=\ln|x|,[/mm] also
> [mm]\cos(1+v)=\tanh(-\ln|x|+C),[/mm]
> verwendet man also die Identität mit der
> Exponentialfunktion für die Hyperbelfunktion, erhalte ich
> am Ende
> [mm]v=\arccos(\frac{c^2-x^2}{c^2+x^2})-1,[/mm] mit [mm]c=\exp(C).[/mm]
>
> Irgendwie finde ich doch beide Lösungen recht
> unterschiedlich. Man kann doch nicht den arccos in den
> arctan überführen oder?
>
Doch, das geht.
Gruss
MathePower
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