Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx} [/mm] |
Kann mir jemand zu dem Integral einen Tipp geben?
Ich hab versucht log x gegen y zu substituieren und hatte dann dementsprechend [mm] e^{y} [/mm] unterm Bruchstrich, hab den Bruch auseinander gezogen und es mit partieller Integration versucht, da komm ich aber auf nix gescheites weil ich das Folgeintegral nicht berechnen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}[/mm]
meinst Du mit [mm] $\log [/mm] x$ den natürlichen, oder den dekadischen Logarithmus?
Gruß,
notinX
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Hallo Kyrill!
Ich unterstelle jetzt mal, dass mit [mm] $\log(x)$ [/mm] auch der natürliche Logarithmus zur Basis $e_$ gemeint ist.
Die Substitution $u \ := [mm] \log(x)$ [/mm] ist doch schon sehr gut.
Anschließend verbleibt auch ein sehr leichtes Integral, welches es zu lösen gilt.
Ansonsten rechne hier mal bitte genau vor.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Di 01.02.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
Okay , dann werd ich jetz mal meine partielle Integration nach der Substitution y:=log(x) vorrechnen:
(Bemerkung: Ich wähle immer die sinus oder cosinusfunktion als f' bei der partiellen integration)
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
nochmal partiell integrieren:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot -e^{-y} dy}
[/mm]
und nochmal:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-cos(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
und einmal mehr:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-[-sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
so und ab hier wiederholt sich das integral...
von den eckigen Klammern eliminieren sich die sin(y)-Teile aber man hat trotzdem noch:
[mm] -2\cdot [cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
so ich hab auch versucht bei der zweiten partiellen integration anders zu wählen:
die erste partielle Integration wie gehabt:
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
und jetzt sei mein [mm] e^{-y} [/mm] = f'
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}
[/mm]
Aber damit wäre das Integral ja 0... ich kapier nicht wo ich den Fehler mache...
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Hallo Kyrill87,
> Okay , dann werd ich jetz mal meine partielle Integration
> nach der Substitution y:=log(x) vorrechnen:
> (Bemerkung: Ich wähle immer die sinus oder
> cosinusfunktion als f' bei der partiellen integration)
>
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> nochmal partiell integrieren:
> [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot -e^{-y} dy}[/mm]
>
> und nochmal:
> [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> und einmal mehr:
> [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-[-sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> so und ab hier wiederholt sich das integral...
> von den eckigen Klammern eliminieren sich die sin(y)-Teile
> aber man hat trotzdem noch:
> [mm]-2\cdot [cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> so ich hab auch versucht bei der zweiten partiellen
> integration anders zu wählen:
>
> die erste partielle Integration wie gehabt:
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> und jetzt sei mein [mm]e^{-y}[/mm] = f'
>
> [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>
> Aber damit wäre das Integral ja 0... ich kapier nicht wo
> ich den Fehler mache...
Das geht doch viel einfacher.
Mit der Substitution [mm]y:=\log\left(x\right)[/mm] ergibt sich
[mm]dy=\bruch{1}{x} \ dx[/mm]
Damit ergibt sich das Integral zu:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{sin(log x)}{x} \ dx}=\integral_{}^{}{sin(y)} \ dy}[/mm]
,falls mit log der Logarithmus zur Basis e
(natürlicher Logarithmus) gemeint ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 01.02.2011 | | Autor: | Kyrill87 |
Ach ja... Vielen Dank! Hatte die Sache mit dy/dx ganz vergessen..
Super, Danke
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