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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 30.01.2011 | | Autor: | allamaja |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f(x)=e^x(x^2-3) [/mm] und [mm] g(x)=-2xe^x
[/mm]
d)Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der durch die Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche auf eine Dezimalstelle genau. |
Hallo,
ich rechne gerade die Abituraufgabe für den Grundkurs 2010 und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe jetzt die Intervallgrenzen berechnet, das sind -3 und 1 und wollte nach dem Integralzeichen jetzt g-f berechnen, da man ja immer die höhere Funktion minus die tiefere rechnet. Wir haben noch nicht gelernt, wie man die Stammfunktion einer e-Funktion berechnet, deswegen müssen wir immer andere Wege finden. Aus diesem Grund habe ich in die Lösungen geschaut und festgestellt, dass ich die Differenzfunktion f-g für das Integral nehmen soll (vorher musste bestätigt werden, dass d(x)=f'(x), somit konnte man einfach f(x) für das Integral nehmen, laut lösung).
Jetzt frage ich mich, wieso f-g? Das kann doch nicht sein, wenn ich mir den Graphen anschaue..
lg
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Hallo allamaja,
> Gegeben sind die Funktionen [mm]f(x)=e^x(x^2-3)[/mm] und
> [mm]g(x)=-2xe^x[/mm]
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> d)Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der durch die Graphen
> von f und g eingeschlossenen Fläche auf eine Dezimalstelle
> genau.
> Hallo,
>
> ich rechne gerade die Abituraufgabe für den Grundkurs 2010
> und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
>
> Ich habe jetzt die Intervallgrenzen berechnet, das sind -3
> und 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und wollte nach dem Integralzeichen jetzt g-f
> berechnen, da man ja immer die höhere Funktion minus die
> tiefere rechnet. Wir haben noch nicht gelernt, wie man die
> Stammfunktion einer e-Funktion berechnet, deswegen müssen
> wir immer andere Wege finden. Aus diesem Grund habe ich in
> die Lösungen geschaut und festgestellt, dass ich die
> Differenzfunktion f-g für das Integral nehmen soll (vorher
> musste bestätigt werden, dass d(x)=f'(x), somit konnte man
> einfach f(x) für das Integral nehmen, laut lösung).
>
> Jetzt frage ich mich, wieso f-g? Das kann doch nicht sein,
> wenn ich mir den Graphen anschaue..
Nun, ob du [mm]\int\limits_{-3}^1{(f(x)-g(x)) \ dx}[/mm] berechnest oder [mm]\int\limits_{-3}^1{(g(x)-f(x)) \ dx}[/mm] ist egal.
Denn letzteres kannst du schreiben als [mm]\int\limits_{-3}^1{(-1)\cdot{}((-g(x)+f(x)) \ dx} \ = \ (-1)\cdot{}\int\limits_{-3}^1{(f(x)-g(x)) \ dx}[/mm]
Die Integrale mit den Integranden [mm]f(x)-g(x)[/mm] und [mm]g(x)-f(x)[/mm] unterscheiden sich also nur durch das Vorzeichen.
Du kannst dir also die Überlegung, welcher Graph nun obenhalb des anderen liegt und damit die Überlegung, ob du [mm](f(x)-g(x))[/mm] oder [mm](g(x)-f(x))[/mm] als Integrand nimmst, sparen, wenn du von vorneherein und generell den Betrag des Integrals ausrechnest, also
[mm]\left| \ \int\limits_{-3}^1{(f(x)-g(x)) \ dx} \ \right| \ = \ \left| \ \int\limits_{-3}^1{(g(x)-f(x)) \ dx} \ \right|[/mm]
Durch den Betrag wird die [mm]-1[/mm] im Vorzeichen unbedeutend.
Wie du hier allerdings ohne die Kenntnis einer Stammfunktion von [mm]e^x[/mm] auskommen sollst, ist mir schleierhaft.
Aber die kannst du dir schnell selbst überlegen.
Integration und Differentiation sind ja in gewissem Sinne "Umkehroperationen".
Wie lautet denn die Ableitung von [mm]e^x[/mm] ...
Außerdem brauchst du hier noch das Integrationsverfahren der partiellen Integration, wenn ich das auf die Schnelle richtig sehe.
Sogar zweimal ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 30.01.2011 | | Autor: | allamaja |
Okay, vielen Dank!
Also, das kann man auch ohne die Stammfunktion von [mm] e^x [/mm] berechnen:
Vorher haben wir festgestellt, dass d(x), also f-g mit f '(x) identisch ist, also haben wir [mm] \integral_{-3}^{1}{f'(x) dx}, [/mm] daraus folgt A=[f(x)] mit den Intervallen -3 und 1. Aber das habe ich nur der Lösung entnommen, von alleine wäre ich nicht darauf gekommen, glaube ich.
lg
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