Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{1-sin^2(x)} dx} [/mm] |
So,mein Lösungsversuch ist:
Für den Ausdruck unter der Wurzel kann man auch mithilfe der triginometrischen Phytagoras so schreiben:
[mm] \integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos^2(x)} dx}=\integral_{-10\pi}^{20\pi}{cos(x) dx} [/mm] und eine Stammfunktion ist ja sin(x) in den Grenzen [mm] -10\pi [/mm] und [mm] 20\pi
[/mm]
[mm] =>sin(20\pi)-(sin(-10\pi)) [/mm] = 0
Irgendwie glaub ich, dass ich ein Fehler gemacht habe.
Kann mir einer helfen um dieser Aufgabe?
Gruß
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
> [mm]\integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{1-sin^2(x)} dx}[/mm]
> So,mein Lösungsversuch ist:
> Den Ausdruck unter der Wurzel kann man mit Hilfe
> des trigonometrischen Pythagoras so schreiben:
>
> [mm]\integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos^2(x)} dx}=\integral_{-10\pi}^{20\pi}{cos(x) dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und eine Stammfunktion ist ja sin(x) in den Grenzen [mm]-10\pi[/mm]
> und [mm]20\pi[/mm]
>
> [mm]=>sin(20\pi)-(sin(-10\pi))[/mm] = 0
>
> Irgendwie glaub ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.
>
> Kann mir einer helfen bei dieser Aufgabe?
> Gruß
> TheBozz-mismo
Hallo,
bedenke einfach, dass die Gleichung [mm] $\sqrt{A^2}\ [/mm] =\ A$ nur dann
richtig ist, falls [mm] A\ge0 [/mm] ist. Im Allgemeinen ist [mm] $\sqrt{A^2}\ [/mm] =\ |A|$
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
So, erstmal danke für deine Antwort.
Ok, also nach deiner Überlegung ist dann die Stammfunktion sin(x) falsch, aber die Substitution bzw. [mm] cos^2(x) [/mm] einzusetzen ist doch richtig?
[mm] \integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos^2(x)} dx}=$ \integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos(x)cos(x)} dx}
[/mm]
Das ist doch richtig. So, und wie soll ich weiter verfahren und bringt mich diese Schreibweise überhaupt weiter?
Vielleicht partieller Integration?
Ich bitte um Hilfe
Danke
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
> So, erstmal danke für deine Antwort.
> Ok, also nach deiner Überlegung ist dann die
> Stammfunktion sin(x) falsch, aber die Substitution bzw.
> [mm]cos^2(x)[/mm] einzusetzen ist doch richtig?
Klar, das war schon in Ordnung.
> [mm]\integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos^2(x)} dx}=$ \integral_{-10\pi}^{20\pi}{\wurzel{cos(x)cos(x)} dx}[/mm]
>
> Das ist doch richtig. So, und wie soll ich weiter verfahren
> und bringt mich diese Schreibweise überhaupt weiter?
> Vielleicht partieller Integration?
Braucht man nicht. Skizzier dir einfach einmal die Funktion
$\ y\ =\ [mm] \wurzel{cos(x)*cos(x)}\ [/mm] =\ |cos(x)|$
welche jetzt den Integranden darstellt und meditiere ein
wenig über das entstandene Bild ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Ok, ich hab mir mal Gedanken über den Graphen gemacht. Man sieht ja, dass |cos(x)| [mm] \pi-periodisch [/mm] ist, deshalb kann man das Integral berechnen
[mm] 30*\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x) dx} [/mm] (Hier ist der Cosinius ja nicht keiner Null)
[mm] =30(sin(\bruch{\pi}{2})-sin(\bruch{-\pi}{2}))
[/mm]
=30*2=60, aber mein Taschenrechner sagt mir ein Ergebnis von 70
Wo liegt mein Denk-bzw. Rechenfehler?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
> Ok, ich hab mir mal Gedanken über den Graphen gemacht. Man
> sieht ja, dass |cos(x)| [mm]\pi-periodisch[/mm] ist, deshalb kann
> man das Integral berechnen
> [mm]30*\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x) dx}[/mm]
> (Hier ist der Cosinus ja nicht keiner Null)
> [mm]=30(sin(\bruch{\pi}{2})-sin(\bruch{-\pi}{2}))[/mm]
> =30*2=60, aber mein Taschenrechner sagt mir ein Ergebnis
> von 70
>
> Wo liegt mein Denk-bzw. Rechenfehler?
>
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
Die zu berechnende Fläche besteht aus 29 ganzen plus zwei
"halben" Segmenten mit einer Größe von je 2 Flächeneinheiten.
Also ist die Gesamtfläche gleich 60.
LG
|
|
|
| |
|
Das hab ich doch auch geschrieben, also ist 60 richtig?
Meine Rechnung ist doch auch richtig, oder?
Mein taschenrechner sagt mir 70, aber ich wüßte auch nicht, wo der Fehler sein soll.
Wäre schön, wenn du oder auch ein anderer das bestätigen würde
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Hallo TheBozz-mismo,
> Das hab ich doch auch geschrieben, also ist 60 richtig?
> Meine Rechnung ist doch auch richtig, oder?
Ja, Deine Rechung ist richtig.
> Mein taschenrechner sagt mir 70, aber ich wüßte auch
> nicht, wo der Fehler sein soll.
>
Die 70 kommen dadurch zustande, daß
Dein Taschenrechner 5 Intervalle der Länge [mm]\pi[/mm]
irgendwie hinzugedichtet hat.
> Wäre schön, wenn du oder auch ein anderer das bestätigen
> würde
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Vielen lieben Dank für die Bestätigung
Schönen Abend noch
TheBozz-mismo
|
|
|
|
