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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bins wieder.
Ich habe wiedermal ein Problem mit einem fiesen Integral.
Die Aufgabe ist das ich das Integral berechnen soll und das Integral ist:
[mm] \integral_{}^{}{2x arctanx dx}
[/mm]
(irgendwie kriege ich keine leerzeichen zwischen die einzelnen Terme: erst 2x ,dann arctanx, und das ganze nach dx)
(Die gegebene Lösung ist : x² arctanx +arctanx - x + C)
Zur Lösung dieses Integrals sehe ich nur die Möglichkeit der partiellen Integration oder/und der Substitution.
Also habe ich partiell integriert und kam auf folgendes Zwischenergebnis:
I= x² arctanx - [mm] \integral_{}^{}{x² * \bruch{1}{x²+1}dx}
[/mm]
Leider führten jegliche Versuche(ich sitze da schon seit 2h dran) der Substitution bzw. der nochmaligen part. Integration zu Ergebnissen,die nicht der Lösung entsprachen.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und vlt einen Ansatz sagen, wie ich ab meinem Zwischenergebnis weiter verfahren soll(bzw was ich vlt wie Substituieren sollte..ich habe zwar , denke ich, schon alle Möglichkeiten ausprobiert , aber vlt habe ich ja eine übersehen)
Lg
martin
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich bins wieder.
> Ich habe wiedermal ein Problem mit einem fiesen Integral.
> Die Aufgabe ist das ich das Integral berechnen soll und
> das Integral ist:
> [mm]\integral_{}^{}{2x arctanx dx}[/mm]
> (irgendwie kriege ich
> keine leerzeichen zwischen die einzelnen Terme: erst 2x
> ,dann arctanx, und das ganze nach dx)
>
> (Die gegebene Lösung ist : x² arctanx +arctanx - x + C)
>
> Zur Lösung dieses Integrals sehe ich nur die Möglichkeit
> der partiellen Integration oder/und der Substitution.
>
> Also habe ich partiell integriert und kam auf folgendes
> Zwischenergebnis:
>
> I= x² arctanx - [mm]\integral_{}^{}{x² * \bruch{1}{x²+1}dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Leider führten jegliche Versuche(ich sitze da schon seit 2h
> dran) der Substitution bzw. der nochmaligen part.
> Integration zu Ergebnissen,die nicht der Lösung
> entsprachen.
Nein, nun ist fertig mit partiell Integrieren: denn Du hast beim verbleibenden Integral einen gebrochen-rationalen Integranden. - Was machst Du in einer solchen Situation? - Du machst zuerst einmal Polynomdivision: um den ganzrationalen Teil des Integranden abzuspalten:
[mm]\integral_{}^{}{\underset{\uparrow}{2x}\cdot\underset{\downarrow}{\arctan(x)}\;dx}=x^2\cdot\arctan(x)-\integral x^2\frac{1}{x^2+1}\;dx=x^2\cdot\arctan(x)-\integral\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)\;dx=\ldots[/mm]
den Rest kannst Du sicher selbständig fertig rechnen.
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...polynomdivision *vorn kopf schlag*.
wieso is mir das nicht eingefallen, naja..die weitere rechnung sind dann ja nur noch 2 zeilen :).
vielen dank für deine schnelle und aufschlußreiche hilfe!
grüße
martin
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Falls du öfters solchen oder ähnlichen Integralen begegnen solltest: Ich habe die Erfahrung gemacht, dass man die typischen drei Formen folgendermaßen angeht:
[mm]\integral{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}\quad\Rightarrow\quad\mbox{Einfach integrieren}[/mm]
[mm]\integral{\bruch{x}{1+x^{2}} dx}\quad\Rightarrow\quad\mbox{Im Zähler steht (fast) Ableitung des Nenners - Mit }\ln(...)\mbox{ erledigen.}[/mm]
[mm]\integral{\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} dx}\quad\Rightarrow\quad\mbox{Integral aufteilen (Polynomdivision): }\integral{\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} dx = \integral{\left(\bruch{1+x^{2}}{1+x^{2}} - \bruch{1}{1+x^{2}}\right) dx} = \integral{\left(1 - \bruch{1}{1+x^{2}}\right) dx}[/mm]
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