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Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage zur Integration. Darf man Substitution und partielle Integration zur Berechnung eines Integrals verwenden??? Ich mache mal ein Beispiel:
[mm] \integral_{0}^{\pi^2}{sin(\wurzel{x}) dx}
[/mm]
Ich würde nun zunächst [mm] u=\wurzel{x} [/mm] bzw. [mm] u^2=x [/mm] substituieren [mm] \Rightarrow \wurzel{x}du=dx
[/mm]
obere Grenze: [mm] \pi
[/mm]
untere Grenze: 0
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi}{sin(u)2udu} \Rightarrow 2\integral_{0}^{\pi}{sin(u)udu}
[/mm]
und jetzt würde ich nämlich zur Partiellen Integration greifen:
f(x)=u,f'(x)=1
g(x)=-cos(u),g'(x)=sin(u)
[mm] \Rightarrow 2|u(-cos(u))|_{0}^{\pi}-2\integral_{0}^{\pi}{1(-cos(u)du}
[/mm]
Und das Integral vom letzteren ist [mm] 2|-sin(u)|{0}^{\pi}
[/mm]
Also insgesamt: [mm] 2|u(-cos(u))|_{0}^{\pi}-2|-sin(u)|{0}^{\pi}=-2\pi
[/mm]
Wäre das in Ordnung???
MFG domenigge135
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> Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage zur Integration.
> Darf man Substitution und partielle Integration zur
> Berechnung eines Integrals verwenden??? Ich mache mal ein
> Beispiel:
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> [mm]\integral_{0}^{\pi^2}{sin(\wurzel{x}) dx}[/mm]
>
> Ich würde nun zunächst [mm]u=\wurzel{x}[/mm] bzw. [mm]u^2=x[/mm]
> substituieren [mm]\Rightarrow \wurzel{x}du=dx[/mm]
Eigentlich nicht ganz richtig: es wäre [mm] $2\sqrt{x}du=dx$, [/mm] aber dies verwendest Du weiter unten auch. Also handelt es sich hier um einen blossen Schreibfehler.
>
> obere Grenze: [mm]\pi[/mm]
>
> untere Grenze: 0
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\pi}{\sin(u)2udu} \Rightarrow 2\integral_{0}^{\pi}{\sin(u)u\;du}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und jetzt würde ich nämlich zur Partiellen Integration
> greifen:
>
> f(x)=u,f'(x)=1
> g(x)=-cos(u),g'(x)=sin(u)
>
> [mm]\Rightarrow 2|u(-cos(u))|_{0}^{\pi}-2\integral_{0}^{\pi}{1(-cos(u)du}[/mm]
>
> Und das Integral vom letzteren ist [mm]2|-sin(u)|{0}^{\pi}[/mm]
>
> Also insgesamt:
> [mm]2|u(-cos(u))|_{0}^{\pi}-2|-sin(u)|{0}^{\pi}=-2\pi[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es ist doch klar, dass der Integrand [mm] $\sin(u)\cdot [/mm] u$ für [mm] $u\in [0;\pi]$ [/mm] grösser oder gleich $0$ ist. Also kann ein negatives Ergebnis nicht richtig sein. Du hast aber beinahe alles richtig gemacht, nur ist halt
[mm]\red{2 u(-\cos(u))\Big|_{0}^{\pi}}-\blue{2(-\sin(u))\Big|_{0}^{\pi}}=\red{\left(2\pi\cdot (-(-1))-2\cdot 0\cdot (-(+1))\right)}-\blue{0}=2\pi[/mm]
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Ja hast natürlich recht  der Kosinus ist für [mm] \pi [/mm] natürlich -1 und nicht 1
Danke dir...
MFG domenigge135
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