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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 06.03.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{cos^{2}x dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich stehe vor einem "kleinen" Problem:
[mm] \integral_{0}^{1}{cos^{2}x dx} [/mm] kann ich doch auch schreiben als:
[mm] \integral_{0}^{1}{cosx*cosx dx}
[/mm]
Aber da komme ich auch mit partieller Integration nicht weiter, oder? Das steht ja nicht die Ableitung als ein Faktor im Integral.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo ebarni,
> [mm]\integral_{0}^{1}{cos^{2}x dx}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich stehe vor einem "kleinen" Problem:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{cos^{2}x dx}[/mm] kann ich doch auch schreiben
> als:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{cosx*cosx dx}[/mm]
>
> Aber da komme ich auch mit partieller Integration nicht
> weiter, oder? Das steht ja nicht die Ableitung als ein
> Faktor im Integral.
Doch mit der partiellen Integration kommst Du weiter, in dem Du [mm]u'=\cos\left(x\right)[/mm] und [mm] v=\cos\left(x\right)[/mm] wählst.
>
> Viele Grüße, Andreas
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Do 06.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo MathePower, alles klar, vielen Dank, werde ich so mal probieren!
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ebarni |
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx}= [/mm] ??
Ich setze also u'(x)=cosx, u(x)=sinx, v(x)=cosx, v'(x)=-sinx und erhalte mit der partiellen Integration:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx} [/mm] = [mm] [sinx*cosx]_0^\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cosx*cosx dx}
[/mm]
Der erste Term [mm] [sinx*cosx]_0^\bruch{\pi}{2} [/mm] ergibt sich zu Null, richtig?
Dann bleibt stehen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cosx*cosx dx}
[/mm]
Ist an und für sich kein Widerspruch, hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
Was mache ich falsch?
Viele Grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ImperatoM |
Ist die obere Grenze jetzt 1 oder Pi-halbe ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hi ImperatoM, die obere Grenze ist tatsächlich [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Die 1 war falsch.
Viele Grüße, Andreas
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Hallo Andreas,
Berechnen wir das Ganze allgemein für [mm]\textstyle\int_a^b{\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm]. Dann kann man später für [mm]a\![/mm] und [mm]b\![/mm] die geforderten Grenzen einsetzen.  Dazu bedienen wir uns der partiellen Integration und [mm]\sin^2 + \cos^2 = 1[/mm] (*):
[mm]\int_a^b{\underbrace{\sin(x)}_{=:f(x)}\cdot{}\underbrace{\sin(x)}_{=:g'(x)}\,\operatorname{d}\!x}=[\sin(x)(-\cos(x))]_a^b - \int_a^b{\cos(x)(-\cos(x))\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
Das heißt wir erhalten:
[mm]\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}=-[\sin(x)\cos(x)]_a^b + \int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x}\quad\heartsuit[/mm]
Jetzt tricksen wir ein wenig und addieren auf beiden Seiten [mm]\textstyle\int_a^b{\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm] hinzu. Dann gilt wegen (*):
[mm][x]_a^b=-[\sin(x)\cos(x)]_a^b + 2\int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
Das war's. Derselbe Trick funktioniert auch wenn man [mm]\textstyle\int_a^b{\sin^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm] berechnen will. Dann muß man bei [mm]\heartsuit[/mm] auf beiden Seiten [mm]\textstyle\int_a^b{\sin^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm] hinzuaddieren.
Viele Grüße
Karl
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Hallo ebarni,
> [mm][x]_a^b=[\cos(x)\sin(x)]_a^b + 2\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
>
> > Das war's.
> >
> Das sagst Du so einfach... Für mich war es das irgendwie
> noch nicht ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
>
> Und jetzt weiß ich nicht weiter......was mache ich mit dem
> [mm]2\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
Wie würdest du die Gleichung [mm]1=2+3x\![/mm] lösen, wenn [mm]x\![/mm] gesucht ist?
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Also Du meinst vielleicht so?
$ [mm] [x]_a^b=[\cos(x)\sin(x)]_a^b [/mm] + [mm] 2\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x} [/mm] $
$ [mm] [x]_a^b [/mm] - [mm] [\cos(x)\sin(x)]_a^b [/mm] = [mm] 2\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x} [/mm] $
$ [mm] \bruch{[x]_a^b - [\cos(x)\sin(x)]_a^b}{2} [/mm] = [mm] \int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x} [/mm] $
Aber eigentlich suche ich doch $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx} [/mm] $
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Viele Grüße, Andreas
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> [mm]\bruch{[x]_a^b - [\cos(x)\sin(x)]_a^b}{2} = \int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
Ja, richtig. Danach mußt du nur noch die Grenzen einsetzen.
> Aber eigentlich suche ich doch
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx}[/mm]
>
>
Schaue dir nochmal die Gleichung bei [mm]\heartsuit[/mm] an. Dort führt dich eine ähnliche Umformung, wie du sie eben gemacht hast, zum Ziel.
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Karl,
das heißt also, wenn ich $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx} [/mm] $ berechnen will, muss ich eigentlich $ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^2x dx} [/mm] $ betrachten um auf
$ [mm] \bruch{[x]_a^b + [\sin(x)\cos(x)]_a^b}{2} [/mm] = [mm] \int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x} [/mm] $
zu kommen. Irgendwie komisch
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Hallo Andreas,
> das heißt also, wenn ich
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2x dx}[/mm] berechnen will,
> muss ich eigentlich [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^2x dx}[/mm]
> betrachten um auf
>
> [mm]\bruch{[x]_a^b + [\sin(x)\cos(x)]_a^b}{2} = \int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x}[/mm]
>
> zu kommen. Irgendwie komisch
Es ist letztlich egal, ob du bei der partiellen Integration mit [mm]\textstyle\int_a^b{\cos^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm] oder mit [mm]\textstyle\int_a^b{\sin^2 x\,\operatorname{d}\!x}[/mm] anfängst. Beides führt dich zu der Herzensgleichung. Schaue dir die Gleichung, die ich in meiner ersten Antwort hatte, und deine Gleichung in deiner ersten Frage an mich nochmal nebeneinander an:
[mm]\textcolor{green}{\underbrace{\int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}}_{=:\alpha}=-\underbrace{[\sin(x)\cos(x)]_a^b}_{=:\beta} + \underbrace{\int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x}}_{=:\gamma}\quad\heartsuit}[/mm]
[mm]\textcolor{blue}{\int_a^b{\cos(x)\cos(x)\,\operatorname{d}\!x}=[\cos(x)\sin(x)]_a^b + \int_a^b{\sin(x)\sin(x)\,\operatorname{d}\!x}}\quad\heartsuit[/mm]
Setzt man die griechischen Buchstaben nun auch in deine Gleichung ein, so sieht man, daß sie äquivalent ("[mm]\textcolor{red}{\Leftrightarrow}[/mm]") sind:
[mm]\textcolor{green}{\alpha=-\beta + \gamma\quad\heartsuit}[/mm]
[mm]\textcolor{blue}{\gamma=\beta + \alpha}\quad\heartsuit[/mm]
Es gilt also: [mm]\textcolor{green}{\alpha=-\beta + \gamma}\mathrel{\textcolor{red}{\Leftrightarrow}}\textcolor{blue}{\gamma = \beta + \alpha}[/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Fr 07.03.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Karl, das ist super, und sehr anschaulich.
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Viele Grüße, Andreas
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