Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Igor,
hier benötigst du lediglich eine Substitution:
Versuch's mal mit [mm] $u:=3\cos(2x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{du}{dx}=....\Rightarrow [/mm] dx=....$
Das läuft dann auf ein einfach zu bestimmendes Integral heraus.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 21.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo schachuzipus,
wenn man mit [mm] \gamma(x) [/mm] :=3cos2x substituiert, dann ändern sich die Integrationsgrenzen : Integral von 3 bis 3 . Dies bedeutet, dass das Integral 0 ist.
In Analysis 1 von Forster wird die Substitutionsregel so beschrieben:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma(x))\gamma^{[1]}(x) dx}=\integral_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}{f(t) dt}
[/mm]
Ich weiss nicht, wie ich in diesem Fall vorgehen soll, denn wenn ich [mm] \gamma(x)= [/mm] 3cos 2x substituiere, muss man dann von [mm] \gamma(x)= [/mm] 3cos 2x die Ableitung bilden ; dann kommt man auf die linke Seite , wie es im Forster beschrieben ist , dann steht dort [mm] f(\gamma(x)) [/mm] ( ich nehme an , dass exp-Funktion =f ist . Oder was ist hier mit f gemeint?
Wenn [mm] f=exp(\gamma(x)), [/mm] was ist dann sin 2x ? Dies scheint als eine andere Funktion zu sein, z.B g(...) . In der Substitutionsregel ist nichts über eine weitere Funktion gesagt . Also, wie muss man hier genauer argumentieren , damit man mit Hilfe dieser Substitutionsregel von Forster die linke Seite umformt?
Schöne Grüße
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
In deinem Inteegral steht doch f(g(x))*g'(x)
Du hast [mm] e^{3cos2x}*(3cos2x)'=e^{3cos2x}*(-6sin2x)
[/mm]
also bis auf den Faktor -6 genau das was du integrieren willst. also schreib zu deinem Ausdruck -6/(-6) dazu dann 1/(-6) vors Integral und du bist fertig.
einfacher: du leitest [mm] e^{3cos2x} [/mm] mit Kettenregel ab, dann solltest du die Stammfunktion deines Integrals direkt sehen.
Die Substitution klappt nur, wenn du im Integral so was wie f(g(x))*g'(x) stehen hast,(Substitutionsregel ist sowas wie die Umkehrung der Kettenregel) manchmal sieht man das nicht direkt, weil man noch geschickt mit was erweitern muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 21.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
und was ist mit anderem sin 2x , denn es gilt : [mm] -6sin^{2}(2x).
[/mm]
Oder?
Denn was ist mit f( ) gemeint ? Der ganze Ausdruck oder exp-Funktion?
SG
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 21.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe deine Frage nicht:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x)) dx}=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}
[/mm]
mit t=g(x)
das hattest du aus deiner Vorlesung!
jetzt hast du [mm] -1/6*\integral_{a}^{b}{f(3cos2x)*(3cos2x)' dx}
[/mm]
dann hast du mit 3*cos2x=t doch genau doe Formel:
[mm] -1/6*\integral_{a}^{b}{f(3cos2x)*(3cos2x)'dx}=-1/6*\integral{f(t) dt}=\integral{e^t dt}
[/mm]
woher du ein Quadrat bei sin hast kapier ich nicht!
irgendwie hast du das mit der Substitution nicht kapiert!
Es gilt doch (f(g(x)))'=f'(g)*g'(x) deshalb
[mm] \integral_{a}^{b}{(f(g(x))' dx}= f(g(x)=\integral_{a}^{b}{f'(g(x)*g'(x)dx} [/mm] ;
der Rest sind nur Namen:
g(x)=t; g'(x)=dt/dx, g'(x)dx =dt
Gruss leduart
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 21.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Ich habe nur vor kurzem mit der Substitution angefangen.
f(x) ist = e^3cos2x * sin2x ?
oder ist f(x) nur= e^3cos2x ?
Mein [mm] sin^{2} [/mm] habe deshalb, weil ich dachte ich habe exp ( 3cos2x):=f(g(x)) und dann stehe noch 2 sinx und jetzt noch mit der Ableitung multipliziert kommt raus: sin2x *(-6 sin 2x )
Jetzt habe ich irgendwie Verdacht, dass man als f den ganzen Integranden definieren muss.
Wie sieht denn dann der substituierte Integrand aus (ausgeschrieben) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 21.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Ich habe nur vor kurzem mit der Substitution angefangen.
f(x) ist = e^3cos2x * sin2x ?
oder ist f(x) nur= e^3cos2x ?
Mein [mm] sin^{2} [/mm] habe deshalb, weil ich dachte ich habe exp ( 3cos2x):=f(g(x)) und dann stehe noch 2 sinx und jetzt noch mit der Ableitung multipliziert kommt raus: sin2x *(-6 sin 2x )
Jetzt habe ich irgendwie Verdacht, dass man als f den ganzen Integranden definieren muss.
Wie sieht denn dann der substituierte Integrand aus (ausgeschrieben) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 21.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
schau mal bitte wie die Aufgabe aussieht, dort steht noch sin2x .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Igor!
Mit deiner o.g. Schreibweise gilt hier:
$$\gamma(x) \ := \ 3*\cos(2x)$$
$$f[\gamma(x)] \ = \ e^{\gamma{x)} \ = \ e^{3*\cos(2x)}$$
Wenden wir die Subsitution $\red{\gamma \ := \ 3*\cos(2x)}$ einfach mal an. Dann gilt ja:
$$\gamma'(x) \ = \ \bruch{d\gamma}{dx} \ = \ 3*[-\sin(2x)]*2 \ = \ -6*\sin(2x) \ \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \ \blue{dx \ = \ -\bruch{d\gamma}{6*\sin(2x)}}$$
$$\Rightarrow \ \ \ \ \integral{e^{\red{3*\cos(2x)}}*\sin(2x) \ \blue{dx}} \ = \ \integral{e^{\red{\gamma}}*\sin(2x)* \left[\blue{-\bruch{d\gamma}{6*\sin(2x)}}\right]} \ = \ -\bruch{1}{6}*\integral{e^{\gamma} \ d\gamma}$$
Gruß
Loddar
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