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| Aufgabe | Länge der von dem zu [mm] \gamma(t) [/mm] gehörigen Ortsvektor überstrichenen Fläche
[mm] \gamma(t)=(cos^{3}(t), sin^{3}(t))^{T} [/mm] für t [mm] \in [0,2\pi] [/mm] |
Ich verstehe das Ende der Berechnung leider nicht ...
Wir haben am Ende gerechnet:
[mm] L=\bruch{3}{2}*\integral_{0}^{2\pi}{|sin(2t)|dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}*4*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin(2t)dt}
[/mm]
[mm] =6*[-cos(2t)*\bruch{1}{2}]
[/mm]
=6
zum einen verstehe ich nicht wie ich auf die 4 komme und warum die obere Grenze sich auf einmal verändert und zum anderen kommt bei mir nicht 6 raus wenn ich die Grenzen einsetze ...
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Hallo kruemel,
> Länge der von dem zu [mm]\gamma(t)[/mm] gehörigen Ortsvektor
> überstrichenen Fläche
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> [mm]\gamma(t)=(cos^{3}(t), sin^{3}(t))^{T}[/mm] für t [mm]\in [0,2\pi][/mm]
>
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> Ich verstehe das Ende der Berechnung leider nicht ...
> Wir haben am Ende gerechnet:
> [mm]L=\bruch{3}{2}*\integral_{0}^{2\pi}{|sin(2t)|dt}[/mm]
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> [mm]=\bruch{3}{2}*4*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin(2t)dt}[/mm]
Die Begründung ist einfach: Du integrierst [mm] |\sin(t)|, [/mm] also den Betrag. Das ist aber nun nicht so easy zu integrieren. Daher wird das Inetgral einfach aufgespalten. Am besten du zeichnest dir mal [mm] \sin(t) [/mm] in ein Koordinatensystem.
Würdest du [mm] \int_0^{2\pi}\sin(t)dt [/mm] einfach berechnen, so würden sich ja alle "Flächeninhalte wegheben".
> [mm]=6*[-cos(2t)*\bruch{1}{2}][/mm]
> =6
Na dann schauen wir mal mit den Grenzen:
[mm] [-\frac{1}{2}\cos{2t}]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{2}(\cos{2*\frac{\pi}{2}}-\cos{0})=-\frac{1}{2}(-1-1)=1
[/mm]
Also - stimmt doch.
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> zum einen verstehe ich nicht wie ich auf die 4 komme und
> warum die obere Grenze sich auf einmal verändert und zum
> anderen kommt bei mir nicht 6 raus wenn ich die Grenzen
> einsetze ...
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