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| Aufgabe | | Sei [mm] r\in[0,\infty). [/mm] Berechnen Sie [mm] \integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}dx}. [/mm] |
Mein Ergebnis kommt mir spanisch vor ...
[mm] \integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-r}^{r}{(r^{2}-x^{2})^{0,5}dx}
[/mm]
[mm] =(r^{2}-x^{2})^{1,5}*\bruch{2}{3}
[/mm]
mit r und -r eingesetzt =0
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Hallo,
> Sei [mm]r\in[0,\infty).[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}dx}.[/mm]
> Mein Ergebnis kommt mir spanisch vor ...
ich würde sagen: das ist mindestens klingonisch...
> [mm]\integral_{-r}^{r}{\wurzel{r^{2}-x^{2}}dx}[/mm]
> [mm]=\integral_{-r}^{r}{(r^{2}-x^{2})^{0,5}dx}[/mm]
> [mm]=(r^{2}-x^{2})^{1,5}*\bruch{2}{3}[/mm]
> mit r und -r eingesetzt =0
Das Problem ist die Art und Weise, wie du hier versuchst, eine Stammfunktion zu bekommen. Das ist völlig falsch, allerdings für mich nicht ersichtlich, wie auf diese IDee gekommen bist?
Mache einmal folgendes: setze
x=r*sin(u)
und löse damit das Integral durch Substitution.
Merke dir auch die Vorgehensweise hier: das ist ein absoluter Klassiker! 
Gruß, Diophant
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Ich kenne Substitution nur so dass ich etwas durch z ersetze, ich weis leider irgendwie nicht wir ich mit dem ersetzten x weiterrechnen soll ...
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Hallo Kruemel1008,
> Ich kenne Substitution nur so dass ich etwas durch z
> ersetze, ich weis leider irgendwie nicht wir ich mit dem
> ersetzten x weiterrechnen soll ...
Berechne das Differential dx
und setze dies in das zu berechnende Integral ein.
Um das Integral mit dieser Substitution auszuwerten,
ist auch eine Transformation der Integralgrenzen nötig.
Bei Unklarheiten poste die entsprechenden Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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> Berechne das Differential dx
> und setze dies in das zu berechnende Integral ein.
Da verstehe ich schon nicht was ich tun soll ...
Ich habs nochmal anders probiert:
[mm] \integral_{-r}^{r}{(r^{2}-x^{2})^{0,5}}
[/mm]
Aufgeleitet:
[mm] \bruch{r^{2}*arcsin(\bruch{x}{r})+x*\wurzel{r^{2}-x^{2}}}{2}
[/mm]
mit Grenzen eingesetzt:
[mm] \bruch{\pi*r^{2}}{2}
[/mm]
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Hallo Kruemel1008,
> > Berechne das Differential dx
> > und setze dies in das zu berechnende Integral ein.
>
> Da verstehe ich schon nicht was ich tun soll ...
>
> Ich habs nochmal anders probiert:
>
> [mm]\integral_{-r}^{r}{(r^{2}-x^{2})^{0,5}}[/mm]
> Aufgeleitet:
>
> [mm]\bruch{r^{2}*arcsin(\bruch{x}{r})+x*\wurzel{r^{2}-x^{2}}}{2}[/mm]
> mit Grenzen eingesetzt:
> [mm]\bruch{\pi*r^{2}}{2}[/mm]
Ja, das Ergebnis stimmt.
Aber wie kommst Du auf die Stammfunktion?
Gruss
MathePower
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Ah, hat sich geklärt, danke :D
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