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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 04.04.2006 | | Autor: | adrenoCr |
| Aufgabe | | Berechne: [mm] \integral{\bruch{x^2+3}{2x^2+7}dx}[/mm] |
Erstmal: Hallo alle zusammen!
Komm einfach nicht weiter bei dieser Aufgabe!
Begonnen hab ich das ganze mal mit einer Polynomdivision (um das ganze ev. zu vereinfachen bzw aufzuteilen):
[mm] ( x^2 + 3 ) : (2x^2 + 7) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{4x^2 + 14}[/mm]
also bleibt mir dann folgendes übrig:
[mm] \integral{\bruch{1}{2} dx} - \integral{\bruch{1}{4x^2 + 14} dx}[/mm]
das erste Integral is kein problem (nämlich [mm] \bruch{x}{2}[/mm]) aber beim 2. komm ich nicht weiter! kann vielleicht noch [mm]\bruch{1}{4} [/mm] rausnehmen aber weiter?!? vielleicht steh ich grad auf der leitung;) aber ich komm einfach nicht drauf! kann mir jemand helfen?!
Danke schon mal im Voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 04.04.2006 | | Autor: | Pure |
Hi, also ich hab versucht das mit meinem Rechner zu machen, aber...
also [mm] \bruch{x}{2} [/mm] stimmt. Und der zweite Teil ergibt was längeres... weiß aber auch nicht, wie man drauf kommt per Hand. Ich schreibs trotzdem mal.
[mm] \bruch{\wurzel{14}*tan^{-1}* (\bruch{\wurzel{14}*x}{7})}{28}
[/mm]
Ich hoffe, das wird alles richtig angezeigt!
Liebe Grüße, Pure
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Hallo!
Versuch's doch mal mit einer Substitution! Die Stammfunktion von [mm] $\bruch 1{1+x^2}$ [/mm] steht nämlich in jeder Formelsammlung...
Gruß, banachella
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hi der ansatz mit [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] ist schon ganz gut aber unnötig wenn er wirklich eine Gute Formelsammlung hat.
Bei mir im Bartsch
ist auch gleich eine fertige formel Nr.41
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{a*x^2+b*x+c}}= [/mm] für den fall [mm] 4*a*c-b^2>0 \Rightarrow \bruch{2}{ \wurzel{4*a*c-b^2}}*Tan^-1(\bruch{2*a*x+b}{\wurzel{4*a*c-b^2}})
[/mm]
a=4 b=0 c=7
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 04.04.2006 | | Autor: | adrenoCr |
OK mit dieser Formel ist es dann wircklich nicht mehr schwer!
THX!
Komme also durch einsetzten der werte (a=4, b=0, c=14) auf die Lösung
[mm]\integral{\bruch{1}{2} dx} - \integral{\bruch{1}{4x^2 + 14} dx} =
\bruch{x}{2} - \bruch{\arctan \left(\bruch{2x}{ \wurzel{14}\right)}}{2 \wurzel{14}}[/mm]
habs auch überprüft und stimmt ;)
aber mich würde noch interesiern wie bzw wo ich [mm]\bruch{1}{1+x^2} [/mm] substituieren könnte!? wie müsste ich den ausdruck umformen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 04.04.2006 | | Autor: | Yuma |
Hi Adreno,
um [mm] $\int{\frac{1}{4x^2+14}\ dx}$ [/mm] zu bestimmen, musst du [mm] $u(x)=\sqrt{\frac{4}{14}}\cdot [/mm] x$ substituieren.
Dann ist nämlich [mm] $4x^2=14u^2$. [/mm] Außerdem ist [mm] $\frac{du}{dx}=\sqrt{\frac{4}{14}}$, [/mm] also [mm] $dx=\sqrt{\frac{14}{4}}\ [/mm] du$.
Du hast damit:
[mm] $\int{\frac{1}{4x^2+14}\ dx}=\sqrt{\frac{14}{4}}\int{\frac{1}{14u^2+14}\ du}=\frac{1}{\sqrt{56}}\int{\frac{1}{u^2+1}\ du}=\frac{1}{\sqrt{56}}\arctan{u}=\frac{1}{\sqrt{56}}\arctan{\sqrt{\frac{4}{14}}x}$.
[/mm]
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Mi 05.04.2006 | | Autor: | adrenoCr |
Danke jetzt ist mir alles klar! wircklich wunderbar dieses forum!!
Danke nochmal an alle!
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