Integral abschätzen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IC \to \IC [/mm] eine stetige FUnktion, so dass f(z) [mm] \in \IR [/mm] für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Zeige, dass wenn [mm] |f(z)|\le [/mm] 1 und wenn [mm] \gamma =\{e^{it} : t \in [0,2\pi ]\} [/mm] dann
[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le [/mm] 4.
Hinweis: Zeige zunächst, dass
[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{0}^{2\pi} [/mm] |sin(t)|dt |
Wie man vom Hinweis auf das zu beweisende kommt, ist mir klar.
Um den Hinweis zu zeigen habe ich bis jetzt:
[mm] \left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right| [/mm] dz [mm] \le \int_{\gamma} [/mm] 1 dz = [mm] \int_{0}^{2\pi} ie^{it} [/mm] dt
Stimmt das bis jetzt so? Weil das letzte Integral kann ich berechnen und wäre meiner Meinung nach 0 was ja eigentlich nicht sein kann oder?
Wie bekomme ich jetzt die Abschätzung mit sinus?
ich weiss, dass [mm] sin(t)=\frac{1}{2i}(e^{it}-e^{-it})
[/mm]
Hilft mir das vielleicht weiter?
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right|dz \le \int_{\gamma}[/mm] 1 dz = [mm]\int_{0}^{2\pi} ie^{it}[/mm] dt
>
> Stimmt das bis jetzt so?
Leider nein, Kurvenintegrale sind i.a. komplexe Zahlen und die können nicht mit "<" verglichen werden.
gruß
korbinian
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > [mm]\left| \int_{\gamma}f(z) dz \right| \le \int_{\gamma}\left|f(z)\right|dz \le \int_{\gamma}[/mm]
> 1 dz = [mm]\int_{0}^{2\pi} ie^{it}[/mm] dt
> >
> > Stimmt das bis jetzt so?
> Leider nein, Kurvenintegrale sind i.a. komplexe Zahlen und
> die können nicht mit "<" verglichen werden.
> gruß
> korbinian
Ok, und wie gehe ich dann vor? Vielleicht ein Tipp? 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 30.07.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 31.07.2017 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgabe ist reizvoll, ich glaube ich habs ...
Sei [mm] $I=\int_0^{2 \pi} f(e^{it})ie^{it} [/mm] dt$. Dann ist mit einem $a [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $I=|I|e^{-ia}$, [/mm] also
[mm] $|I|=e^{-ia}I$. [/mm]
Es folgt, wegen [mm] $\overline{|I|}=I$ [/mm] und [mm] f(e^{it}) \in \IR:
[/mm]
[mm] $2|I|=e^{ia}\int_0^{2 \pi} f(e^{it})ie^{it} dt+e^{-ia}\int_0^{2 \pi} f(e^{it})(-ie^{-it}) [/mm] dt$.
Nach einiger Rechnung, die ich nicht aufführe, bekommt man:
$2|I|=-2 [mm] \int_0^{2 \pi} f(e^{it}) \sin(t+a)dt$ [/mm] und daraus
$|I| [mm] \le \int_0^{2 \pi} |\sin(t+a)|dt=\int_a^{a+2 \pi} |\sin(t)|dt=\int_0^{2 \pi} |\sin(t)|dt$ [/mm] .
|
|
|
|
