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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Sa 03.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | Die Kurven mit den Gleichungen [mm] y=\wurzel[2]{3(x+1)}, [/mm] y=0 und x=2 schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie:
a) den Inhalt der Fläche
b) den Schwerpunkt der Fläche
c) das Volumen des Körpers, der bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht |
zu a)
Ich habe zunächst die Grenzen bestimmt. unten y=0 bei xu=-1, oben bei xo=2.
Dann muss ich ja das Integral der Funktion [mm] y=\wurzel[2]{3(x+1)} [/mm] mit den Grenze xo und xu bilden.
Also [mm] \integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}
[/mm]
Aus der Formelsammlung habe ich entnommen:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel[2]{ax+b} dx}=\bruch{2}{3a}\wurzel[2]{(ax+b)^{3}}
[/mm]
Eingesetzt ergibt sich dann [mm] F=\integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}=(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*2+3)^{3}})-(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*(-1)+3)^{3})}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{9^{3}}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{81*9}=6 [/mm] FE.
In der angegebenen Lösung steht allerdings [mm] F=\bruch{16}{\wurzel[2]{3}}
[/mm]
Hab ich irgendwas übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hennes!
Ich erhalte ebenfalls Dein Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Sa 03.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Danke. Dann ist die angegebene Lösung wohl falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 03.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
zu b)
Die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche sind gegeben durch:
[mm] x_s=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{x(yo-yu) dx} [/mm] und [mm] y_s=\bruch{1}{2F}\integral_{a}^{b}{(yo^{2}-yu^{2}) dx}
[/mm]
mit [mm] yo=\wurzel[2]{3x+3} [/mm] und yu=0
Dann folgt für [mm] x_s=\bruch{1}{A}\integral_{-1}^{2}{x(\wurzel[2]{3x+1}-0) dx}=\bruch{1}{6}*3+\bruch{4}{9}*9*3=\bruch{25}{2}
[/mm]
und für [mm] y_s=\bruch{1}{2A}\integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3x+3}^{2}+0^{2} dx}=(\bruch{1}{12}*\bruch{1}{2}*12+6)-(\bruch{1}{2}*9-3)=\bruch{9}{2}
[/mm]
Auch hier ist eine andere Lösung angegeben, nämlich [mm] x_s=\bruch{7}{5} [/mm] und [mm] y_s=\bruch{3\wurzel[2]{3}}{4}
[/mm]
Ich nehme an, das auch diese Lösung falsch angegeben ist und meine errechnete Lösung stimmt.
Ist das richtig??
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Hallo hennes82,
> zu b)
>
> Die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche sind gegeben
> durch:
>
> [mm]x_s=\bruch{1}{F}\integral_{a}^{b}{x(yo-yu) dx}[/mm] und
> [mm]y_s=\bruch{1}{2F}\integral_{a}^{b}{(yo^{2}-yu^{2}) dx}[/mm]
>
> mit [mm]yo=\wurzel[2]{3x+3}[/mm] und yu=0
>
> Dann folgt für
> [mm]x_s=\bruch{1}{A}\integral_{-1}^{2}{x(\wurzel[2]{3x+1}-0) dx}=\bruch{1}{6}*3+\bruch{4}{9}*9*3=\bruch{25}{2}[/mm]
>
> und für
> [mm]y_s=\bruch{1}{2A}\integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3x+3}^{2}+0^{2} dx}=(\bruch{1}{12}*\bruch{1}{2}*12+6)-(\bruch{1}{2}*9-3)=\bruch{9}{2}[/mm]
Poste hier Deine Zwischenschritte, wie Du auf diese Werte kommst.
>
> Auch hier ist eine andere Lösung angegeben, nämlich
> [mm]x_s=\bruch{7}{5}[/mm] und [mm]y_s=\bruch{3\wurzel[2]{3}}{4}[/mm]
Wie schon in diesem Post erwähnt,
wurde hier eine andere Obergrenze für x gewählt.
>
> Ich nehme an, das auch diese Lösung falsch angegeben ist
> und meine errechnete Lösung stimmt.
>
> Ist das richtig??
Richtig ist, daß die Musterlösung nicht stimmt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Sa 03.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
zu c)
Das Volumen bei Rotation um die x-Achse ist gegeben durch
[mm] V_x=\pi\integral_{a}^{b}{y^{2} dx}
[/mm]
Also hier: [mm] V_x=\pi\integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3x+3}^{2} dx}=\pi\integral_{-1}^{2}{3x+3 dx}=\pi((\bruch{3}{2}*2^{2}+3*2)-(\bruch{3}{2}*3-3))=\pi*\bruch{21}{2}
[/mm]
angegebene Lösung: [mm] V_x=24\pi
[/mm]
Ich nehme wieder an, das meine errechnete Lösung stimmt und die angegebene Lösung falsch ist.
Richtig?
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Hallo hennes82,
> zu c)
>
> Das Volumen bei Rotation um die x-Achse ist gegeben durch
> [mm]V_x=\pi\integral_{a}^{b}{y^{2} dx}[/mm]
>
> Also hier: [mm]V_x=\pi\integral_{-1}^{2}{\wurzel[2]{3x+3}^{2} dx}=\pi\integral_{-1}^{2}{3x+3 dx}=\pi((\bruch{3}{2}*2^{2}+3*2)-(\bruch{3}{2}*3-3))=\pi*\bruch{21}{2}[/mm]
Bei der Auswertung des Integrals hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Hier hast Du so gerechnet:
[mm]\pi((\bruch{3}{2}*2^{2}+3*2)-\vmat{\bruch{3}{2}*3-3}[/mm]
Richtig hingegen ist:
[mm]\pi((\bruch{3}{2}*2^{2}+3*2)-(\bruch{3}{2}*3-3))=\pi((6+6)-(-\bruch{3}{2}))=\pi(12-(-\bruch{3}{2}))=\pi(12+\bruch{3}{2})=\pi*\bruch{27}{2}[/mm]
>
> angegebene Lösung: [mm]V_x=24\pi[/mm]
>
> Ich nehme wieder an, das meine errechnete Lösung stimmt
> und die angegebene Lösung falsch ist.
>
> Richtig?
Nein, siehe oben.
Bei der angegebenen Lösung wurde die Obergrenze x=3 verwendet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 04.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Erstmal danke.
Die Rechenfehler hab ich verstanden. Allerdings ist mir nicht klar, warum als obere Grenze [mm] x_o=3 [/mm] gelten soll.
In der Aufgabenstellung steht doch explizit x=2.
Ist dann die Musterlösung einfach nicht passend zur Aufgabenstellung??
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Hallo hennes82,
> OK. Erstmal danke.
>
> Die Rechenfehler hab ich verstanden. Allerdings ist mir
> nicht klar, warum als obere Grenze [mm]x_o=3[/mm] gelten soll.
>
Nun, wenn ich annehme, daß Funktion
[mm]y=\wurzel[2]{3*\left(x+1\right)}[/mm]
sowie die Untegrenze von x stimmen, dann bleibt nur noch,
daß in der Musterlösung mit einer anderen Obergrenze
gerechnet wurde.
> In der Aufgabenstellung steht doch explizit x=2.
Mag sein.
>
> Ist dann die Musterlösung einfach nicht passend zur
> Aufgabenstellung??
So isses.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 04.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
So, hab jetzt die Grenzen verstanden.
unten [mm] y=\wurzel[2]{3x+3}=0 [/mm] <=> x=-1
oben [mm] y(2)=\wurzel[2]{3*2+3}=3 [/mm]
Also [mm] x_u=-1 [/mm] und [mm] x_o=3.
[/mm]
Dann folgt für den Flächeninhalt [mm] \integral_{-1}^{3}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}
[/mm]
Laut Formelsammlung gilt dann [mm] \integral_{}^{}{\wurzel[2]{ax+b} dx}=\bruch{2}{3a}\wurzel[2]{(ax+b)^{3}}
[/mm]
Eingesetzt ergibt sich dann
[mm] F=\integral_{-1}^{3}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}=(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*3+3)^{3}})-(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*(-1)+3)^{3})}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{12^{3}}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{144*4*3}=\bruch{2}{9}*12*2*\wurzel[2]{3}=\bruch{16}{3}\wurzel[2]{3}
[/mm]
Soweit richtig??
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Hallo hennes82,
> So, hab jetzt die Grenzen verstanden.
>
> unten [mm]y=\wurzel[2]{3x+3}=0[/mm] <=> x=-1
> oben [mm]y(2)=\wurzel[2]{3*2+3}=3[/mm]
Obergrenze für x ist hier 2.
>
> Also [mm]x_u=-1[/mm] und [mm]x_o=3.[/mm]
>
> Dann folgt für den Flächeninhalt
> [mm]\integral_{-1}^{3}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}[/mm]
>
> Laut Formelsammlung gilt dann
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel[2]{ax+b} dx}=\bruch{2}{3a}\wurzel[2]{(ax+b)^{3}}[/mm]
>
>
> Eingesetzt ergibt sich dann
> [mm]F=\integral_{-1}^{3}{\wurzel[2]{3(x+1)} dx}=(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*3+3)^{3}})-(\bruch{2}{9}\wurzel[2]{(3*(-1)+3)^{3})}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{12^{3}}=\bruch{2}{9}\wurzel[2]{144*4*3}=\bruch{2}{9}*12*2*\wurzel[2]{3}=\bruch{16}{3}\wurzel[2]{3}[/mm]
>
> Soweit richtig??
Mit der falschen Obergrenze stimmt das.
Gruss
MathePower
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