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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 19.04.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo euch allen,
ich habe eine Frage zu einer Rechnung. Ich komme da einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet:
Finde die Unter -und Oberintegrale für die Funktion f(x)=x aus dem
Intervall [0,1]. Hinweis: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/2n(n+1)
Man hat bezüglich der Obersummen eigentlich ja den gleichen Fall wie bei g(x)=x. Das ist aber eine einfache Polynomfunktion und hat die Stammfunktion 1/2 * [mm] x^2, [/mm] also ist das bestimmte Integral von 0 nach 1 über g (und f) gerade [mm] 1/2 * 1^2. [/mm]
Bei der Untersumme habe ich ein Rechenproblem. Und zwar:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1})*f(x_{k-1}) [/mm]
[mm] x_{k}-x_{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k-1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{k-k+1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] f(x_{k-1}) [/mm] = [mm] x_{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{k-1}}{n}
[/mm]
Jetzt eingesetzen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{k-1}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k-1
Wie kann ich hier das zu ende führen? Ich habe keine ahnung. oder ist da was falsch?
Danke euch!!
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Hallo,
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\bruch{k-1}{n}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k-1
>
das löst Du so auf:
[mm]
\sum\limits_{k = 1}^n {k\; - \;1\; = \;\sum\limits_{k = 1}^n k } \; - \;\sum\limits_{k = 1}^n 1 \; = \;\frac{{n\;\left( {n\; + \;1} \right)}}
{2}\; - \;n[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Iceman |
@MathePower
Ich glaube du hast den Faktor vor der Summe vergessen.
Also bei mir sieht die Rechnung insgesamt so aus:
U(n)= [mm] \summe_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1})\cdot{}f(x_{k-1})
[/mm]
[mm] x_{k}-x_{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k-1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{k-k+1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] f(x_{k-1}) [/mm] = [mm] x_{k-1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{n}
[/mm]
Jetzt eingesetzen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{k-1}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k-1
= [mm] \bruch{1}{n^2}\summe_{k=1}^{n} [/mm] k - [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1
= [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * [mm] (\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] - n
= [mm] \bruch{n(n+1)}{2n^2} [/mm] - [mm] \bruch{n}{n^2}
[/mm]
Jetzt gekürzt...
= [mm] \bruch{n+1}{2n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] U(n)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - 0
=1/2
Ich habe von anderen gehört dass das Ergebnis stimmt.
Was ändert sich an der Rechnung, wenn ich genau so die Obersumme ausrechnen will? Denn bei der Obersumme kommt auch 1/2 raus.
Danke!
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Hallo!
Deine Umformungen waren nach meiner Meinung teilweise unnötig umständlich, aber wer das richtige Ergebnis berechnet, hat Recht ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") .
Nun, bei der Obersumme läufts im Prinzip genau so wie eben. Der Unterschied besteht darin, dass jeder der aufzusummierenden Balken ein wenig über den Graphen von f hinaus ragt, statt ihn nur von unten zu berühren. Mit anderen Worten: hatten wir eben die linke obere Ecke jedes Balkens als Höhe auf dem Funktionsgraphen liegen, so ist es jetzt die rechte obere:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}{(x_{k}-x_{k-1})}f(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{\bruch{k}{n^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}}\bruch{n(n+1)}{2}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2\;n}$
[/mm]
Und wie die Namen Unter- und Obersumme vermuten lassen, nähert sich diese Folge für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] dem Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] von oben.
Grüße,
Peter
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