Integral Quotient < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mo 07.04.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Berechnen Sie unter Verwendung geeigneter Integrationsmethoden die unbestimmten Integrale
1. [mm] \integral{\bruch{2*x^4-4*x-1}{x^3-x}dx}
[/mm]
... |
Hallo,
ich soll das Integral [mm] \integral{\bruch{2*x^4-4*x-1}{x^3-x}dx}
[/mm]
berechnen. Ich habe noch viele von solchen Quotienten zu berechnen, nur leider haben wir in der Schule nur gelernt Stammfunktionen von Quotienten zu bilden, wenn es 2 lineare Funktionen waren (Nenner und Zaeler).
Jetzt habe ich schon bei einigen Integralen "rumprobiert" mit partieller Integration und Polynomdivision, aber es hat mir eigentlich bei keinem geholfen.
Daher die Uebung zu diesem Blatt erst Mittwoch ist waere es sehr nett, wenn mir jemand an dem einen Beispiel mal zeigen koennte wie ich an solche Aufgaben rangehe.
Vielen Dank!
Lg Anne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 07.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dazu mach am Besten mal die Polynomdivision.
[mm] \bruch{2\cdot{}x^4-4\cdot{}x-1}{x^3-x}
[/mm]
[mm] =(2x^{4}-4x-1):(x^{3}-x), [/mm] also
[mm] (2x^{4}-0x^{3}-0x^{2}-4x-1):(x^{3}-x)=2x-\bruch{-2x^{2}-4x-1}{x³-x}
[/mm]
[mm] -(2x^{4}-0x^{3}+2x^{2})
[/mm]
[mm] -2x^{2}-4x-1
[/mm]
Jetzt hast du schon einen etwas einfacheren Term zu Integrieren.
Alternativ könntest du auch das ganze auseinanderziehen,
[mm] \bruch{2\cdot{}x^4-4\cdot{}x-1}{x^3-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{2\cdot{}x^4}{x^3-x}-\bruch{4\cdot{}x}{x^3-x}-\bruch{1}{x^3-x}
[/mm]
[mm] =\bruch{2\cdot{}x^3}{x^2-1}-\bruch{4}{x^2-1}-\bruch{1}{x^3-x}
[/mm]
Jetzt kannst du diese Teile einzeln mit der Summenregel integrieren.
Also:
[mm] \integral{\bruch{2\cdot{}x^4-4\cdot{}x-1}{x^3-x}}
[/mm]
[mm] =\integral\bruch{2\cdot{}x^3}{x^2-1}-\integral\bruch{4}{x^2-1}-\integral\bruch{1}{x^3-x}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 07.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Das mit der Polynomdivision hatte ich auch raus, nur das mir der einfachere Term nicht wirklich weiter geholfen hat.
Das mit dem Auseinanderziehen hilft mir schon eher, würde ich sagen.
Wie mache ich das denn generell mit Quotienten bei denen der Nenner nicht linear ist? Könntest du mir das mal bitte an einem der Teile zeigen, damit ich es für die anderen analog machen kann? Mir fällt dazu nur partielle Integration ein, aber so toll ist das auch nicht.
Dankeschön!
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Hallo dieanne,
> Das mit der Polynomdivision hatte ich auch raus, nur das
> mir der einfachere Term nicht wirklich weiter geholfen
> hat.
>
> Das mit dem Auseinanderziehen hilft mir schon eher, würde
> ich sagen.
> Wie mache ich das denn generell mit Quotienten bei denen
> der Nenner nicht linear ist? Könntest du mir das mal bitte
> an einem der Teile zeigen, damit ich es für die anderen
> analog machen kann? Mir fällt dazu nur partielle
> Integration ein, aber so toll ist das auch nicht.
Interessant ist hier wie der Bruch [mm]\bruch{2*x^{2}+4*x+1}{x^{3}-x}[/mm] zerlegt wird.
Dazu ermittle die Nullstellen des Nennerpolynoms.
Der Ansatz erfolgt nun mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung
Demmach gilt:
[mm]\bruch{2*x^{2}+4*x+1}{x^{3}-x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{x+1}[/mm]
Um die Koeffizienten A, B und C herauszubekommen, macht man einen Koeffizientenvergleich.
>
> Dankeschön!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 07.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Achso, das mit der Partialbruchzerlegung hatten wir noch nicht. In der Vorlesung fiel das Thema letztes Semester aus Zeitgründen weg. In der Übung kommt es erst am Mittwoch und wenn ich das dazu brauche, dann höre ich jetzt erstmal auf mir den Kopf über die Aufgabe zu zerbrechen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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