Integral PrimePi[x] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe eine kleine Interpretationsfrage:
Der Primzahlsatz besagt ja [mm] $\pi(x)\sim \frac{x}{log(x)}$.
[/mm]
Leite ich nun $ [mm] \frac{x}{log(x)}$ [/mm] ab, so bekomme ich asymptotisch gesehen das Wachstum der Primzahlen raus.
Was ist mit dem Integral? Wenn ich also die Fläche, die unter dem Graphen von [mm] $\pi(x)$ [/mm] betrachte. Wie lässt sich das "in Primzahlsprache" interpretieren?
Zweite Frage: Differenziere ich [mm] $Li(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{log(t)}$ [/mm] und [mm] $f(x):=\frac{x}{log(x)}$, [/mm] so bekomme ich
[mm] $Li'(x)=\frac{1}{log(x)}-\frac{1}{log(2)}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{log(x)}+\frac{1}{x\cdot (log(x))^2}$ [/mm] heraus, also eine asymptotische Äquivalenz der Ableitungen. Folgt hieraus bereits die asymptotische Äquivalenz von $Li(x)$ und $f(x)$?
Grüße,
Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe eine kleine Interpretationsfrage:
>
> Der Primzahlsatz besagt ja [mm]\pi(x)\sim \frac{x}{log(x)}[/mm].
>
> Leite ich nun [mm]\frac{x}{log(x)}[/mm] ab, so bekomme ich
> asymptotisch gesehen das Wachstum der Primzahlen raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ist mit dem Integral? Wenn ich also die Fläche, die
> unter dem Graphen von [mm]\pi(x)[/mm] betrachte. Wie lässt sich das
> "in Primzahlsprache" interpretieren?
Das kann man genau ausrechnen:
Seien $2 = [mm] p_1 [/mm] < [mm] \dots [/mm] < [mm] p_k \le [/mm] x$ eine Aufzaehlung aller Primzahlen [mm] $\le [/mm] x$, und setze [mm] $p_0 [/mm] := 0$. Dann gilt [mm] $\pi|_{[p_{i-1}, p_i)} \equiv [/mm] i - 1$, womit [mm] $\int_0^x \pi(t) \; [/mm] dt = [mm] \sum_{i=1}^k (p_i [/mm] - [mm] p_{i-1}) [/mm] (i - 1) + (x - [mm] p_k) [/mm] k = k x - [mm] \sum_{i=1}^{k} p_i [/mm] = x [mm] \pi(x) [/mm] - [mm] \sum_{p \le x} [/mm] p$.
Das Integral [mm] $\int_0^x \pi(t) \; [/mm] dt$ plus die Summe aller Primzahlen [mm] $\le [/mm] p$ ist also gerade gleich $x [mm] \pi(x)$.
[/mm]
Ob dir das jetzt weiterhilft, weiss ich nicht :)
> Zweite Frage: Differenziere ich
> [mm]Li(x)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{log(t)}[/mm] und
> [mm]f(x):=\frac{x}{log(x)}[/mm], so bekomme ich
> [mm]Li'(x)=\frac{1}{log(x)}-\frac{1}{log(2)}[/mm] und
Nicht ganz: $Li'(x) = [mm] \frac{1}{\log x}$ [/mm] nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung.
> [mm]\frac{1}{log(x)}+\frac{1}{x\cdot (log(x))^2}[/mm] heraus, also
Ebenfalls nicht ganz: das Ergebnis ist [mm] $\frac{1}{\log x} [/mm] + [mm] \frac{1}{(\log x)^2}$.
[/mm]
> eine asymptotische Äquivalenz der Ableitungen. Folgt
Das wiederum stimmt.
> hieraus bereits die asymptotische Äquivalenz von [mm]Li(x)[/mm] und
> [mm]f(x)[/mm]?
Die Frage ist also, ob fuer hinreicht schoene Funktionen $g, h$ aus [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] g'(x) / h'(x) = 1$ folgt [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] g(x) / h(x)$?
Das stimmt nicht: sei $g(x) = 1 + [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] und $h(x) = [mm] \frac{1}{x}$. [/mm] Dann ist $g'(x) = h'(x)$ und somit sind $g'$ und $h'$ offensichtlich auch asymptotisch aequivalent, jedoch sind $g(x)$ und $h(x)$ nicht asymptotisch aequivalent.
Ich moechte allerdings nicht ausschliessen, dass es unter gewissen zusaetzlichen Bedingungen schon gilt...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:51 So 23.10.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Erstmal danke für deine super Antwort! (und Entschuldigung, dass ich mich beim Ableiten so dermaßen doof angestellt habe...)
Aus der wunderschönen Formel, die du hergeleitet hast, kann man die mittlere Anzahl der Primzahlen ausdrücken (Macht ja auch Sinn, wenn man Fläche durch Intervalllänge teilt).
[mm] \frac{1}{x}\int_0^x\pi(t)dt=\pi(x)-\frac{1}{x}\sum_{p\leq x}p
[/mm]
Oder: Fasst man nun das Integral als Funktion $g$ auf und [mm] $\pi$ [/mm] als seine Ableitung, so steht eine nette Differentialgleichung da:
[mm] \sum_{p\leq x}p=xg'(x)-g(x).
[/mm]
Leitet man beide Seiten ab und verwendet die Asymptotische Äquivalenz von [mm] $\pi$ [/mm] und [mm] $x/\log [/mm] x$, so erhält man als Veränderung der Summe der Primzahlen unterhalb einer gewissen Schranke die Asymptotik
[mm] \left(\sum_{p\leq x}p\right)'\sim\pi(x)-\frac{\pi(x)}{\log(x)}\sim\pi(x)
[/mm]
Und bei der asymptotischen Äquivalenz am Ende meiner Frage habe ich das eher so rum gesehen:
[mm] \lim \frac{Li(x)}{f(x)}\overset{l'Hopital}{=}\lim\frac{Li'(x)}{f'(x)}=1
[/mm]
Auf jeden Fall danke! Das macht mir irgendwie Spaß! :)
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