Integral Imaginärteil < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:00 Mi 09.02.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes Integral:
[mm]\integral_{}^{}{Im(sin(cos(x))e^{ix}) dx}[/mm] |
Hallo an Alle,
meine Frage reduziert sich eigentlich nur darauf, ob mit der Aufgabenstellung gemeint ist: Bestimmen Sie den Imaginärteil vom Integrand oder ob das "Im" nur bedeutet, dass wir für den hinteren Teil
[mm]e^{ix}[/mm]
nur den Imaginärteil verwenden sollen!?
Aber das "Im" steht ja vor der gesamten Klammer...
wie würdet ihr das interpretieren?
Danke schon mal!
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{}^{}{Im(sin(cos(x))e^{ix}) dx}[/mm]
>
> Hallo an Alle,
>
> meine Frage reduziert sich eigentlich nur darauf, ob mit
> der Aufgabenstellung gemeint ist: Bestimmen Sie den
> Imaginärteil vom Integrand oder ob das "Im" nur bedeutet,
> dass wir für den hinteren Teil
>
> [mm]e^{ix}[/mm]
>
> nur den Imaginärteil verwenden sollen!?
>
> Aber das "Im" steht ja vor der gesamten Klammer...
> wie würdet ihr das interpretieren?
Genau so wie es da steht. Dabei ist bestimmt davon
auszugehen, dass mit x eine reelle Integrationsvariable
gemeint ist - oder stammt die Aufgabe etwa aus der
komplexen Analysis ?
Um den Imaginärteil zu bestimmen, braucht man
dann nur die Formel
$\ [mm] e^{ix}\ [/mm] =\ cos(x)+i*sin(x)$
Im übrigen ist dies dann ein Fall für eine Substitution.
Die Sache mit dem Imaginärteil erscheint dabei wie
ein kleines Geschenk !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:29 Mi 09.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Ja, mit der Formel habe ich auch gerechnet.
Ist dann also gemeint, dass das "Im" quasi entfällt, wenn ich mit der Formel rechne?
Ich habe das erstmal so aufgefasst, dass ich nur den Imaginärteil von [mm]e^{ix}[/mm] nehmen soll - also sin(x) - und habe dann mit Folgendem gerechnet:
[mm]\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}[/mm]
und habe dann substituiert und kam letztendlich auf [mm]cos(cos(x))[/mm]!
Aber hat mit Imaginär nicht mehr viel zu tun. Deshalb bin ich mir nicht sicher!
Oder hätte ich besser rechnen sollen
[mm]\integral_{}^{}{sin(cos(x))*(cos(x)+i*sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{sin(cos(x))*cos(x) dx}+i\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}[/mm]
Aber da wir ja den Imaginärteil betrachten sollen würde ich ja eh nur mit dem hinteren rechnen und komme somit aufs Gleiche, oder sehe ich da was falsch?
|
|
|
| |
|
>
> Ja, mit der Formel habe ich auch gerechnet.
> Ist dann also gemeint, dass das "Im" quasi entfällt, wenn
> ich mit der Formel rechne?
>
> Ich habe das erstmal so aufgefasst, dass ich nur den
> Imaginärteil von [mm]e^{ix}[/mm] nehmen soll - also sin(x) - und
> habe dann mit Folgendem gerechnet:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}[/mm]
> und habe dann
> substituiert und kam letztendlich auf [mm]cos(cos(x))[/mm]!
>
> Aber hat mit Imaginär nicht mehr viel zu tun. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Beachte, dass ein Imaginärteil definitionsgemäß immer reell ist !
> Deshalb bin ich mir nicht sicher!
>
> Oder hätte ich besser rechnen sollen
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin(cos(x))*(cos(x)+i*sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{sin(cos(x))*cos(x) dx}+i\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}[/mm]
>
> Aber da wir ja den Imaginärteil betrachten sollen würde
> ich ja eh nur mit dem hinteren rechnen und komme somit aufs
> Gleiche ...
klar, geht auf beide Arten, weil für reelle a, b und c gilt:
$\ Im(a*(b+i*c))\ =\ a*Im(b+i*c)$
LG
|
|
|
| |
|
> ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja... ich meinte auch nicht reell sondern dass
> der Cosinus ja eigentlich der REALTeil ist. Aber ich hab ja
> als ERGEBNIS den Cosinus!
>
> Dann schreibe ich aber das i nicht mehr davor, oder?
>
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{}{sin(cos(x))*(cos(x)+i*sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{sin(cos(x))*cos(x) dx}+\red{i}\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}[/mm]
>
> >
>
> Oder schreibe ich dann tatsächlich
>
> [mm]i\integral_{}^{}{sin(cos(x))*sin(x) dx}=i *cos(cos(x))[/mm] ?
Hallo,
Du möchtest doch berechnen
[mm] \integral_{}^{}{Im[sin(cos(x))\cdot{} *e^{ix}]dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{Im[sin(cos(x))\cdot{}(cos(x)+i\cdot{}sin(x)) ]dx}
[/mm]
[mm] =\integral{sin(cos(x))*sinx dx}.
[/mm]
Da ist kein i mehr!
Es ist Im(4+5i)=5.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Mi 09.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
okay, vielen Dank! Ja das dachte ich mir auch, denn das "Im" war ja eher darauf bezogen, was ich berechnen soll. Denke ich.
Aber noch eine kurze Frage...
hattest Du Dich hier verschrieben oder meintest Du tatsächlich, dass ich den Cosinus benutzen soll?
> [mm]\integral_{}^{}{Im[sin(cos(x))\cdot{}(cos(x)+i\cdot{}sin(x)) ]dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral{sin(cos(x))*\red{cosx} dx}.[/mm]
>
> Da ist kein i mehr!
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mi 09.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> okay, vielen Dank! Ja das dachte ich mir auch, denn das
> "Im" war ja eher darauf bezogen, was ich berechnen soll.
> Denke ich.
>
> Aber noch eine kurze Frage...
> hattest Du Dich hier verschrieben
Da hat sich Angela verschrieben .
> oder meintest Du
> tatsächlich, dass ich den Cosinus benutzen soll?
Nein, den Sinus
FRED
>
>
> >
> [mm]\integral_{}^{}{Im[sin(cos(x))\cdot{}(cos(x)+i\cdot{}sin(x)) ]dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\integral{sin(cos(x))*\red{cosx} dx}.[/mm]
> >
> > Da ist kein i mehr!
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:34 Mi 09.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Okay, Danke ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
|
|
|
|
