Integral Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mi 27.08.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | Begründen Sie ob das folgende Integral konvergiert oder divergiert:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x*3^x}dx} [/mm] |
Hallo,
habe ein paar Fragen zu diesem Integral:
1. Wieso kann ich das mit Substitution nicht integrieren?
2. Wie kann ich dieses Integral mit Hilfe des Integralkriteriums in eine Reihe umschreiben? [mm] (\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*3^k} [/mm] )(<-- aus Lösung)
Ich verstehe hier den elementaren Prozess nicht, wie ich das Integral (auch allg. in eine Reihe umschreiben kann.
Danke für eure Hilfe
|
|
| |
|
> Begründen Sie ob das folgende Integral konvergiert oder
> divergiert:
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x*3^x}dx}[/mm]
> Hallo,
> habe ein paar Fragen zu diesem Integral:
> 1. Wieso kann ich das mit Substitution nicht integrieren?
Versuch's mal. (An welche Substitution hast Du denn gedacht? - Substitution ist keineswegs ein Allheilmittel was Integrationsprobleme betrifft.)
> 2. Wie kann ich dieses Integral mit Hilfe des
> Integralkriteriums in eine Reihe umschreiben?
> [mm](\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*3^k}[/mm] )(<-- aus Lösung)
Keine gute Idee. Verwende statt dessen besser die Monotonie des Integrals. Weil für alle [mm] $x\geq [/mm] 1$ gilt:
[mm]0\leq \frac{1}{x 3^x}\leq \frac{1}{3^x}[/mm]
folgt, für alle [mm] $N\geq [/mm] 1$:
[mm]0\leq \integral_1^N \frac{1}{x 3^x}\,dx\leq \integral_1^N \frac{1}{3^x}\, dx\longrightarrow \frac{1}{3\ln(3)}, \text{ für $N\rightarrow \infty$}[/mm]
Also bleibt das fragliche Integral für [mm] $N\rightarrow\infty$ [/mm] beschränkt. Es "konvergiert".
> Ich verstehe hier den elementaren Prozess nicht, wie ich
> das Integral (auch allg. in eine Reihe umschreiben kann.
Du kannst es nicht direkt in eine Reihe umschreiben, Du könntest es aber gegebenenfalls durch eine konvergente Reihe, z.B [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3^k}$, [/mm] von oben beschränken. Ich denke, dass der oben vorgeschlagene Weg über die Monotonie des Integrals einfacher zu handhaben ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 27.08.2008 | | Autor: | marder |
1. Wie wählst du hier den zweiten Term:
[mm] \integral_{1}^{N}{\bruch{1}{3^x} dx} [/mm] ?
Das das kleiner ist, und ich damit die Monotonie ausnutzen kann ist mir klar,
2. wie kommt man aber auf den Term nach dem Pfeil:
[mm] \bruch{1}{3*ln3} [/mm] ???
musst du hier nicht noch den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ins spiel bringen?
danke für die hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo marder!
> 1. Wie wählst du hier den zweiten Term:
>
> [mm]\integral_{1}^{N}{\bruch{1}{3^x} dx}[/mm] ?
Durch etwas Erfahrung wird eine Funktion gewählt, die größer als die Ausgangsfunktion ist und von der bekannt ist, dass das entsprechende uneigentliche Integral konvergiert.
> Das das kleiner ist, und ich damit die Monotonie ausnutzen
> kann ist mir klar,
>
> 2. wie kommt man aber auf den Term nach dem Pfeil:
>
> [mm]\bruch{1}{3*ln3}[/mm] ???
Es gilt ja: [mm] $\integral{\bruch{1}{3^x} \dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{3^{-x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\ln(3)}*3^{-x} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{\ln(3)*3^x}$
[/mm]
> musst du hier nicht noch den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ins spiel bringen?
Das wurde doch getan. Es wurde lediglich etwas anders formuliert mit dem Pfeil sowie der Anmerkung $\text{für }N \rightarrow\infty}$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
|
