Integral (Bogenlänge) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Do 25.09.2008 | | Autor: | nsche |
| Aufgabe | Beim Ermitteln einer Bogenlänge bin ich bis zu den Ausdruck gekommen:
[mm] \integral_{o}^{\pi}{ \wurzel{cosh^{2}(4t) + 1}dx}
[/mm]
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weder mit Additionstheoremen noch mit Bronstein bin ich weitergekommen
ratlos
Norbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Do 25.09.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Norbert,
> Beim Ermitteln einer Bogenlänge bin ich bis zu den Ausdruck
> gekommen:
> [mm]\integral_{o}^{\pi}{ \wurzel{cosh^{2}(4t) + 1}dx}[/mm]
von wo aus bist du denn gestartet?
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 25.09.2008 | | Autor: | nsche |
Also mal von vorn
Bogen: [mm] \vec{s}(t) [/mm] = [mm] \vektor{3 cosh(2t) \\ 3 sinh(2t) \\ 6t}
[/mm]
[mm] \vec{s}'(t) [/mm] = 6 [mm] \vektor{ sinh(2t) \\ cosh(2t) \\ 1}
[/mm]
Bogenlänge l = [mm] \integral_{a}^{b}{\parallel \vec{s}'(t) \parallel dt} [/mm]
= 6 [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(\bruch {1}{2}(e^{2t}-e^{-2t}))^2 + (\bruch {1}{2}(e^{2t}+e^{-2t}))^2 + 1} dt} [/mm]
= 6 [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{\bruch {1}{2}(e^{4t}+e^{-4t}) + 1} dt} [/mm]
= 6 [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{cosh(4t) + 1} dt}
[/mm]
opps, jetzt ist der Integrand etwas einfacher aber: ich komm noch weiter
Norbert
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Hallo Norbert,
> Also mal von vorn
> Bogen: [mm]\vec{s}(t)[/mm] = [mm]\vektor{3 cosh(2t) \\ 3 sinh(2t) \\ 6t}[/mm]
>
> [mm]\vec{s}'(t)[/mm] = 6 [mm]\vektor{ sinh(2t) \\ cosh(2t) \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bevor du nun wild mit den Definitionen von $\sinh$ und $\cosh$ weiterrechnest, halte mal kurz inne und beachte den wichtigen Zusammenhang zwischen $\sinh$ und $\cosh$
Es gilt: $\blue{\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1}$, damit also
$6\int\limits_0^{\pi}{\sqrt{\sinh^2(2t)+\cosh^2(2t)+\blue{1}} \ dt}=6\int\limits_0^{\pi}{\sqrt{\sinh^2(2t)+\cosh^2(2t)+\blue{\cosh^2(2t)-\sinh^2(2t)}} \ dt}=6\int\limits_0^{\pi}{\sqrt{2\cosh^2(2t) \ dt}=6\cdot{}\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}{\cosh(2t) \ dt}=.....$
>
> Bogenlänge l = [mm]\integral_{a}^{b}{\parallel \vec{s}'(t) \parallel dt}[/mm]
> = 6 [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(\bruch {1}{2}(e^{2t}-e^{-2t}))^2 + (\bruch {1}{2}(e^{2t}+e^{-2t}))^2 + 1} dt}[/mm]
> = 6 [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{\bruch {1}{2}(e^{4t}+e^{-4t}) + 1} dt}[/mm]
> = 6 [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{cosh(4t) + 1} dt}[/mm]
Das stimmt zwar alles bis hierhin, aber der obige Weg sieht mir doch bedeutend einfacher aus ...
>
> opps, jetzt ist der Integrand etwas einfacher aber: ich
> komm noch weiter
>
> Norbert
>
LG
schachuzipus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 25.09.2008 | | Autor: | nsche |
herzlichen Dank
nsche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Do 25.09.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Beim Ermitteln einer Bogenlänge bin ich bis zu den Ausdruck
> gekommen:
> [mm]\integral_{o}^{\pi}{ \wurzel{cosh^{2}(4t) + 1}dx}[/mm]
Möchtest du uns damit testen? Du integrierst nach dx, hast aber einen Term in Abhängigkeit von t ;)
Hoffentlich ein Schreibfehler?
Möchtest du dazu eine Stammfunktion von uns genannt bekommen (glaube nicht, dass es die gibt) oder das Integral berechnet haben? Von Hand würde ich sagen, am Besten numerisch, ansonsten in Matlab oder Mathematica oder so eingeben und ausrechnen lassen :)
> weder mit Additionstheoremen noch mit Bronstein bin ich
> weitergekommen
>
> ratlos
> Norbert
Mfg
Disap
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