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| Aufgabe | | [mm] \vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx} [/mm] |
Hallo Leute,
eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung i.A.?
Danke schonmal.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Do 31.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]\vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx}[/mm]
>
> Hallo Leute,
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> eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung
> i.A.?
So ganz im Allgemeinen nicht.
1) Welche Relation muss zwischen [mm] $a\$ [/mm] und [mm] $b\$ [/mm] gelten?
2) Wie ist wohl [mm] $f\$ [/mm] definiert? Welche Voraussetzung fehlt?
Ich tippe aber, dass du beides voraussetzt. 
Gruß
DieAcht
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.
Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
Also [mm] f,g:\IR \mapsto [0,\infty].
[/mm]
[mm] \vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?
[/mm]
Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein ordentlichen Beweis hin :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 01.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
> Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
Tippfehler beim Setzen des Betrags auf der rechten Seite?
> Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(
Ja, die Voraussetzung, dass [mm] $f\$ [/mm] integrierbar ist hatte
gefehlt und das ist hier natürlich nach Definition einer
Dichte gegeben. Dein Vorschlag von deinem letzten Beitrag
kannst du sicher unter Dreiecksungleichung für Integrale
finden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Fr 01.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort.
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> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
> Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
>
> Intuitiv würde ich sagen es stimmt.
Natürlich stimmt das ! Vorausgesetzt ist, dass f und g nichtnegativ sind. Dann kannst Du Dir doch rechts und links die Betragsstriche sparen !
FRED
> Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
> Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
>
> Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(
echt nicht? Ich zeige mehr: Es gilt sogar Gleichheit:
[mm] $\int_{\IR} (f(x)*g(x))dx=\int_{\IR} (\,f(x)*|g(x)|\,)dx=|\int_{\IR} (f(x)*g(x))dx|=\int_{\IR} [/mm] |f(x)*g(x)|dx$ (brauchst Du hier wirklich schrittweise Argumente?)
und aus [mm] $a=a\,$ [/mm] folgt auch $a [mm] \ge a\,.$
[/mm]
Kontrollier' mal bitte, ob
[mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
wirklich die Ungleichung (keine Gleichung!) ist, die Du zeigen willst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx}[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung
> i.A.?
das ist eine Ungleichung. Und DieAcht hat unter anderem
[mm] $\int_{a}^b f(x)dx=-\int_{b}^a [/mm] f(x)dx$
berücksichtigt - das ist im Falle $a > [mm] b\,$ [/mm] relevant. Und natürlich wollte
er sicher auch noch darauf hinaus, dass Integrale existieren sollten. (Das
ist ja nicht klar, nur, weil man ein Symbol hinschreibt:
Für
[mm] $g(0):=0\,$ [/mm] und $g(x):=1/x$ für $x > [mm] 0\,$
[/mm]
existiert [mm] $\int_0^1 g(t)\,dt$ [/mm] dennoch nicht (in [mm] $\IR$)!)
[/mm]
Aber ansonsten: Das ist eine Standardabschätzungsmethode für Integrale,
sie entspricht im Wesentlichen der *verallgemeinerten Dreiecksungleichung
für Reihen* (man kann die Dreiecksungleichung für endliche Summen
machen (Induktionsbeweis), und dann auch eine Dreiecksungleichung für
absolut konvergente Reihen hinschreiben - und wenn eine Reihe nicht
absolut konvergent ist, dann ist die Reihe über die Beträge der
Summanden eh [mm] $+\infty\,.$ [/mm] Sowas kann man also auch behandeln, wenn man will...).
Das Ding (=die Formel oben) heißt auch
Dreiecksungleichung für Integrale,
und für Riemann-integrierbare Integrale steht sie bei Heuser, Analysis I,
14. Auflage, direkt zu Beginn von Kapitel 85.
Gruß,
Marcel
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