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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 01.08.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
[mm] \integral x^2 [/mm] * (x [mm] -1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] dx
u = (x [mm] -1)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4*(x-1^{\bruch{3}{4}})}
[/mm]
dx = du * 4 * (x - [mm] 1)^{\bruch{3}{4}}
[/mm]
Wenn ich nun dies einsetze, scheine ich nicht wirklich weiter zu kommen.
Aber es gibt ja noch eine andere "Substitutionsmöglichkeit".
u = (x [mm] -1)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] u^4 [/mm] = (x -1)
x = [mm] u^4 [/mm] + 1
[mm] \bruch{dx}{du} [/mm] = [mm] 4u^3
[/mm]
dx = [mm] 4u^3 [/mm] * du
Eingesetzt in Grundintegral:
[mm] \integral (u^4 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] * u * [mm] 4u^3 [/mm] * du = [mm] 4*\integral (u^4 [/mm] + [mm] 1)^2 *u^4 [/mm] du = [mm] 4*\integral [/mm] u^12 + [mm] 2u^8 [/mm] + [mm] u^4 [/mm] = [mm] 4*(\bruch{1}{13} u^{13} [/mm] + [mm] \bruch{2}{9} u^{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} u^{5} [/mm] = [mm] 4*\integral [/mm] u^12 + [mm] 2u^8 [/mm] + [mm] u^4 [/mm] = [mm] 4*(\bruch{1}{13} [/mm] (x [mm] -1)^{\bruch{13}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{9} [/mm] (x [mm] -1)^{\bruch{9}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (x [mm] -1)^{\bruch{5}{4}} [/mm] + c
Stimmt das nun so? Und wie sehe ich ebreits zu beginn wie ich substituieren muss? Danke, Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> [mm]\integral x^2[/mm] * (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm] dx
>
> u = (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4*(x-1^{\bruch{3}{4}})}[/mm]
> dx = du * 4 * (x - [mm]1)^{\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Wenn ich nun dies einsetze, scheine ich nicht wirklich
> weiter zu kommen.
> Aber es gibt ja noch eine andere
> "Substitutionsmöglichkeit".
> u = (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]u^4[/mm] = (x -1)
> x = [mm]u^4[/mm] + 1
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = [mm]4u^3[/mm]
> dx = [mm]4u^3[/mm] * du
> Eingesetzt in Grundintegral:
> [mm]\integral (u^4[/mm] + [mm]1)^2[/mm] * u * [mm]4u^3[/mm] * du = [mm]4*\integral (u^4[/mm]
> + [mm]1)^2 *u^4[/mm] du = [mm]4*\integral[/mm] u^12 + [mm]2u^8[/mm] + [mm]u^4[/mm] =
> [mm]4*(\bruch{1}{13} u^{13}[/mm] + [mm]\bruch{2}{9} u^{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} u^{5}[/mm]
> = [mm]4*\integral[/mm] u^12 + [mm]2u^8[/mm] + [mm]u^4[/mm] = [mm]4*(\bruch{1}{13}[/mm] (x
> [mm]-1)^{\bruch{13}{4}}[/mm] + [mm]\bruch{2}{9}[/mm] (x [mm]-1)^{\bruch{9}{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (x [mm]-1)^{\bruch{5}{4}}[/mm] + c
>
> Stimmt das nun so? Und wie sehe ich ebreits zu beginn wie
> ich substituieren muss? Danke, Gruss Kuriger
Ich habe das jetzt nicht durchgesehen, aber das Integral schreit doch geradezu nach zweimaliger partieller Integration.
Setze [mm] $u=x^2$ [/mm] und [mm] $v'=(x-1)^{\frac{1}{4}}$
[/mm]
Dann bekommst du durch zweimalige partielle Integration doch das [mm] $x^2$ [/mm] weg, und [mm] $\int{(x-1)^n \ dx}$ [/mm] kannst du doch für alle [mm] $n\neq [/mm] -1$ blind berechnen mit der Formel [mm] $\int{(x-1)^n \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{n+1}(x-1)^{n+1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> [mm]\integral x^2[/mm] * (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm] dx
>
> u = (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4*(x-1^{\bruch{3}{4}})}[/mm]
> dx = du * 4 * (x - [mm]1)^{\bruch{3}{4}}[/mm]
>
> Wenn ich nun dies einsetze, scheine ich nicht wirklich
> weiter zu kommen.
> Aber es gibt ja noch eine andere
> "Substitutionsmöglichkeit".
> u = (x [mm]-1)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]u^4[/mm] = (x -1)
> x = [mm]u^4[/mm] + 1
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] = [mm]4u^3[/mm]
> dx = [mm]4u^3[/mm] * du
Hier hast Du doch dieselbe Substitution verwendet wie oben.
> Eingesetzt in Grundintegral:
> [mm]\integral (u^4[/mm] + [mm]1)^2[/mm] * u * [mm]4u^3[/mm] * du = [mm]4*\integral (u^4[/mm]
> + [mm]1)^2 *u^4[/mm] du = [mm]4*\integral[/mm] u^12 + [mm]2u^8[/mm] + [mm]u^4[/mm] =
> [mm]4*(\bruch{1}{13} u^{13}[/mm] + [mm]\bruch{2}{9} u^{9}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5} u^{5}[/mm]
> = [mm]4*\integral[/mm] u^12 + [mm]2u^8[/mm] + [mm]u^4[/mm] = [mm]4*(\bruch{1}{13}[/mm] (x
> [mm]-1)^{\bruch{13}{4}}[/mm] + [mm]\bruch{2}{9}[/mm] (x [mm]-1)^{\bruch{9}{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (x [mm]-1)^{\bruch{5}{4}}[/mm] + c
>
> Stimmt das nun so? Und wie sehe ich ebreits zu beginn wie
> ich substituieren muss? Danke, Gruss Kuriger
>
>
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn Du eine Substitution verwendest, dann so eine,
bei der der Integrand nach der Substitution einfacher wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe nun diese Aufgabe noch mittels partiellem Integrieren versucht zu lösen
[mm] \integral x^2 [/mm] * (x - [mm] 1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] dx = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}*(x [/mm] - [mm] 1)^{\bruch{4}{3}} [/mm] -2 [mm] \integral [/mm] x * [mm] \bruch{3}{4}*(x [/mm] - [mm] 1)^{\bruch{4}{3}} [/mm] dx = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}*(x [/mm] - [mm] 1)^{\bruch{4}{3}} [/mm] -2 * (x * [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{3}{7} [/mm] * (x - [mm] 1)^{\bruch{7}{3}} [/mm] - 1 [mm] \integral [/mm] (x - [mm] 1)^{\bruch{7}{3}} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * (x [mm] -1)^{\bruch{4}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{9}{14}x [/mm] * (x - [mm] 1)^{\bruch{7}{3}} [/mm] + [mm] \bruch{9}{35}* [/mm] (x - [mm] 1)^{\bruch{10}{3}}
[/mm]
Das scheint nicht wirklich zu passen. Wo habe ich einen Fehler begangen? Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Ich habe nun diese Aufgabe noch mittels partiellem
> Integrieren versucht zu lösen
>
> [mm]\integral x^2[/mm] * (x - [mm]1)^{\bruch{1}{4}}[/mm] dx = [mm]x^2[/mm] [mm] \red{+}[/mm] [mm]\bruch{3}{4}*(x[/mm] - [mm]1)^{\bruch{4}{3}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier ist direkt was schiefgelaufen.
Das [mm] $\red{+}$ [/mm] muss ein [mm] $\red{\cdot{}}$ [/mm] sein!
Außerdem schaue dir nochmal die Regel für Integrale der Form [mm] $\int{x^n \ dx}$ [/mm] für [mm] $n\in\IR, n\neq [/mm] -1$ an:
Das muss oben richtig lauten:
[mm] $\int{x^2\cdot{}(x-1)^{\frac{1}{4}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\frac{1}{1+\frac{1}{4}}(x-1)^{1+\frac{1}{4}} [/mm] \ - \ [mm] \int{2x\cdot{}\frac{1}{1+\frac{1}{4}}(x-1)^{1+\frac{1}{4}} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=x^2\cdot{}\frac{4}{5}(x-1)^{\frac{5}{4}} [/mm] \ - \ [mm] \int{2x\cdot{}\frac{4}{5}(x-1)^{\frac{5}{4}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \frac{4}{5}\cdot{}x^2\cdot{}(x-1)^{\frac{5}{4}} [/mm] \ - \ [mm] \frac{8}{5}\cdot{}\int{x\cdot{}(x-1)^{\frac{5}{4}} \ dx} [/mm] $
Nun nochmal weiter ...
> -2 [mm]\integral[/mm] x *
> [mm]\bruch{3}{4}*(x[/mm] - [mm]1)^{\bruch{4}{3}}[/mm] dx = [mm]x^2[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{4}*(x[/mm] - [mm]1)^{\bruch{4}{3}}[/mm] -2 * (x * [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> * [mm]\bruch{3}{7}[/mm] * (x - [mm]1)^{\bruch{7}{3}}[/mm] - 1 [mm]\integral[/mm] (x -
> [mm]1)^{\bruch{7}{3}}[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * (x
> [mm]-1)^{\bruch{4}{3}}[/mm] - [mm]\bruch{9}{14}x[/mm] * (x -
> [mm]1)^{\bruch{7}{3}}[/mm] + [mm]\bruch{9}{35}*[/mm] (x - [mm]1)^{\bruch{10}{3}}[/mm]
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> Das scheint nicht wirklich zu passen. Wo habe ich einen
> Fehler begangen? Danke, gruss Kuriger
LG
schachuzipus
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