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| Aufgabe | Es sei [mm] \alpha>0 [/mm] und [mm] J_\alpha [/mm] := [mm] \int_0^\infty e^{ix^\alpha}dx
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] J_\alpha [/mm] als uneigentliches Riemann-Integral existiert genau dann, wenn [mm] \alpha [/mm] > 1. |
Als Tipp steht noch dabei, dass man partiell integrieren oder substituieren kann.
Wenn ich [mm] t:=x^\alpha [/mm] substituiere, komme ich auf Folgendes:
[mm] J_\alpha [/mm] = [mm] \int_0^\infty \frac1\alpha t^{\frac1\alpha -1} e^{it}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(it)^k}{k!}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{i^kt^{k+\frac1\alpha -1}}{k!}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt [/mm] = [mm] \frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \left[\frac{t^{k+\frac1\alpha}}{k+\frac1\alpha}\right]_0^\infty [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!(\alpha k +1)} t^k [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k}}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k+1}}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1} \right) [/mm] = [mm] \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k}+i \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1}
[/mm]
1. Darf ich diese Schritte alle machen, insbesondere die Vertauschung von Summe und Integral?
2. Jetzt habe ich das ganze Zeug in Real- und Imaginärteil aufgespaltet, aber weiter komme ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 12.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\alpha>0[/mm] und [mm]J_\alpha[/mm] := [mm]\int_0^\infty e^{ix^\alpha}dx[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]J_\alpha[/mm] als uneigentliches
> Riemann-Integral existiert genau dann, wenn [mm]\alpha[/mm] > 1.
> Als Tipp steht noch dabei, dass man partiell integrieren
> oder substituieren kann.
>
> Wenn ich [mm]t:=x^\alpha[/mm] substituiere, komme ich auf
> Folgendes:
>
> [mm]J_\alpha[/mm] = [mm]\int_0^\infty \frac1\alpha t^{\frac1\alpha -1} e^{it}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(it)^k}{k!}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{i^kt^{k+\frac1\alpha -1}}{k!}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt[/mm]
> = [mm]\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!} \left[\frac{t^{k+\frac1\alpha}}{k+\frac1\alpha}\right]_0^\infty[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{i^k}{k!(\alpha k +1)} t^k[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k}}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{i^{2k+1}}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1} \right)[/mm]
> = [mm]\lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!(2k\alpha +1)} t^{2k}+i \lim_{t\to\infty} t^\frac1\alpha \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!((2k+1)\alpha +1)} t^{2k+1}[/mm]
>
> 1. Darf ich diese Schritte alle machen, insbesondere die
> Vertauschung von Summe und Integral?
Nein. Die Integrale
[mm]\int_0^\infty t^{k+\frac1\alpha -1}dt[/mm]
divergieren für [mm] $k+\frac1\alpha [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] -1$ an der oberen Grenze, was für alle k der Fall ist. Deine Grenzwerte existieren nicht.
> 2. Jetzt habe ich das ganze Zeug in Real- und Imaginärteil
> aufgespaltet, aber weiter komme ich nicht.
Versuch doch erstmal zu zeigen, dass das Integral für [mm] $\alpha\le [/mm] 1$ nicht existiert. In diesem Fall ist nämlich der Exponent [mm] $\frac1\alpha [/mm] -1 [mm] \ge [/mm] 0$.
Viele Grüße
Rainer
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Ja klar. Du hast Recht.
Sei also [mm] \alpha \leq1. [/mm] Dann ist [mm] J_\alpha [/mm] = [mm] \frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt [/mm] + [mm] i\frac1\alpha \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt
[/mm]
Betrachten wir [mm] \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt \geq \int_{\frac\pi2}^\infty t^{\frac1\alpha -1}\cos(t)dt [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}t^{\frac1\alpha -1}|\cos(t)|dt
[/mm]
Weil die Folge [mm] a_k:=\int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}t^{\frac1\alpha -1}|\cos(t)|dt \underset{\alpha \leq 1}{\geq} \int_{k\pi-\frac\pi2}^{k\pi+\frac\pi2}|\cos(t)|dt=2 [/mm] keine Nullfolge ist, divergiert die Reihe.
Beim Sinus ist es ähnlich:
[mm] \int_0^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt \geq \int_\pi^\infty t^{\frac1\alpha -1}\sin(t)dt [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}t^{\frac1\alpha -1}|\sin(t)|dt
[/mm]
Es gilt auch hier [mm] \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}t^{\frac1\alpha -1}|\sin(t)|dt \geq2, [/mm] somit keine Nullfolge.
Daher existiert das Gesamtintegral nicht.
Stimmt es bisher?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 16.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 15.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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