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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 10.05.2012 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Es gelte
[mm]f(x)\ge \ln 2 +\int_{0}^{1}\ln\cosh(\sqrt{\frac{2y}{\pi}}x)dy[/mm]
Nun soll daraus folgen, dass [mm]\lim_{x\to\infty}\left| \frac{f(x)}{x}\right|\ge\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}[/mm] |
Kann sich das jemand erklären? Ließe sich irgendwie rechtfertigen, dass
[mm]\int_{0}^{1}\ln\cosh(\sqrt{\frac{2y}{\pi}}x)dy=\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{2y}{\pi}}xdy[/mm]? Das Integral hat nämlich den Wert [mm]\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}x[/mm]
Hätte gedacht,dass man den Integranden mittels Taylorentwicklung "umformen" könnte
Aber [mm]\cosh(x)=1+\frac{x^2}{2}+\mathcal O(x^4)[/mm]
und [mm]\ln(1+x)=x+O(x^2)[/mm] <- stimmt das?
(für [mm]x\to 0[/mm])
Darf man die dann ineinander einsetzen?
Also [mm] $\ln\cosh(x)\approx \frac{x^2}{2}$ [/mm] ?
Was aber auch nicht im Sinne der Rechnung wäre...
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es gelte
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> [mm]f(x)\ge \ln 2 +\int_{0}^{1}\ln\cosh(\sqrt{\frac{2y}{\pi}}x)dy[/mm]
>
> Nun soll daraus folgen, dass [mm]\lim_{x\to\infty}\left| \frac{f(x)}{x}\right|\ge\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}[/mm]
>
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> Kann sich das jemand erklären? Ließe sich irgendwie
> rechtfertigen, dass
>
> [mm]\int_{0}^{1}\ln\cosh(\sqrt{\frac{2y}{\pi}}x)dy=\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{2y}{\pi}}xdy[/mm]?
> Das Integral hat nämlich den Wert
> [mm]\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}x[/mm]
Ist das so ? Ich habs nicht überprüft. Wenn ja, so ist
[mm] $\bruch{f(x)}{x} \ge \bruch{ln(2)}{x}+\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}$ [/mm] für x>0.
Da [mm] \bruch{ln(2)}{x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty, [/mm] folgt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{x} \ge \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{2}{3}.
[/mm]
Aber immer unter der Vor. , dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{x} [/mm] existiert.
FRED
>
> Hätte gedacht,dass man den Integranden mittels
> Taylorentwicklung "umformen" könnte
> Aber [mm]\cosh(x)=1+\frac{x^2}{2}+\mathcal O(x^4)[/mm]
> und
> [mm]\ln(1+x)=x+O(x^2)[/mm] <- stimmt das?
> (für [mm]x\to 0[/mm])
>
> Darf man die dann ineinander einsetzen?
> Also [mm]\ln\cosh(x)\approx \frac{x^2}{2}[/mm] ?
> Was aber auch nicht im Sinne der Rechnung wäre...
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> LG
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 10.05.2012 | | Autor: | Fry |
Hi Fred,
das ist ja gerade meine Frage, ob das gilt.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 10.05.2012 | | Autor: | wauwau |
Ich würde das so machen:
$cosh(z) [mm] \ge \frac{e^z}{2}$
[/mm]
daher
$ln(cosh(z)) [mm] \ge [/mm] z-ln(2)$
daher
[mm] $\integral_{0}^{1}ln(cosh(\wurzel{\frac{2y}{\pi}}x))dy \ge \integral_{0}^{1}\wurzel{\frac{2y}{\pi}}x [/mm] -ln(2) dy = [mm] \frac{2x}{3}\wurzel(\frac{2}{\pi}) [/mm] -ln(2)$
das ist genau das, was du brauchst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Do 10.05.2012 | | Autor: | Fry |
Suuuper :D Vielen, vielen Dank!
Gruß
Fry
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