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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 23.01.2010 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2\pi}{sin^3 \alpha d \alpha}=\integral_{-1}^{1}{(1-cos^2\alpha) dcos \alpha} [/mm] |
Hallo Leute, könnte mir bitte jemand von euch die Substitution bzw äquivalente Umschreibung erklären?
Dass [mm] 1-cos^2=sin^2 [/mm] ist, ist mir bewusst, aber warum ist [mm] \sin \alpha d\alpha=dcos\alpha.
[/mm]
[mm] \bruch{dcos\alpha}{d\alpha} [/mm] wäre bei mir [mm] -sin\alpha.
[/mm]
Was mache ich falsch?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 23.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{sin^3 \alpha d \alpha}=\integral_{-1}^{1}{(1-cos^2\alpha) dcos \alpha}[/mm]
>
> Hallo Leute, könnte mir bitte jemand von euch die
> Substitution bzw äquivalente Umschreibung erklären?
> Dass [mm]1-cos^2=sin^2[/mm] ist, ist mir bewusst, aber warum ist
> [mm]\sin \alpha d\alpha=dcos\alpha.[/mm]
Das steht da nicht.
> [mm]\bruch{dcos\alpha}{d\alpha}[/mm] wäre bei mir [mm]-sin\alpha.[/mm]
Das ist richtig.
> Was mache ich falsch?
Du hast die Grenzen der Integrale nicht berücksichtigt. So wie die Gleichung da steht, ist sie sowieso falsch. Ich vermute, es heisst
[mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^3 \alpha d \alpha}=\integral_{-1}^{1}{(1-cos^2\alpha) dcos \alpha}[/mm]
(Das Integral von $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] wäre sofort 0, weil der Sinus eine ungerade [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktion ist.)
Das [mm] $\cos [/mm] 0 = +1 $ und [mm] $\cos\pi=-1$ [/mm] musst du noch die Grenzen vertauschen, und das gibt dir das zusätzliche Minuszeichen.
Viele Grüße
Rainer
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