Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 18.11.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in C^{0}_{c}( [a,b],\IR_{+}) [/mm] stetig und positiv. Zeige ,dass dann gilt:
[mm] (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})*(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx} )\ge (b-a)^{2}
[/mm]
Bringe dazu die linke seite auf die form :
[mm] \bruch{1}{2}* \integral_{\IR^{2}}^{}{(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) dxdy} [/mm] |
hallo leute,
ich sitz jetz schon ewig an diese aufgabe aber kriege einfach nich raus wie ich diese umformung hinbekomme....
es wäre super wenn mir jemand helfen könnte!!!
achso [mm] C^{0}_{c} [/mm] heißt null mal stetig differenzierbar und kompakt (c=compact)
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei f [mm]\in C^{0}_{c}( [a,b],\IR_{+})[/mm] stetig und positiv.
> Zeige ,dass dann gilt:
> [mm](\integral_{a}^{b}{f(x) dx})*(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx} )\ge (b-a)^{2}[/mm]
>
> Bringe dazu die linke seite auf die form :
> [mm]\bruch{1}{2}* \integral_{\IR^{2}}^{}{(\bruch{f(x)}{f(y)}+\bruch{f(y)}{f(x)}) dxdy}[/mm]
>
> hallo leute,
> ich sitz jetz schon ewig an diese aufgabe aber kriege
> einfach nich raus wie ich diese umformung hinbekomme....
Ersetze in einem der beiden Integrale im Ausgangsprodukt die Integrationsvariable x durch y, zum Beispiel
[mm] \left(\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\right)*\left(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(x)} dx} \right) = \left(\integral_{a}^{b}{f(x) dx}\right)*\left(\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{f(y)} dy} \right) [/mm]
und mache aus dem Produkt dann ein Produktintegral über das Quadrat [mm] $[a,b]\times[a,b]$ [/mm] !
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 18.11.2009 | | Autor: | simplify |
danke erstmal für deine Holfe...;)
also meinst du:
[mm] \integral_{a^{2}}^{b^{2}}{f(x)*\bruch{1}{f(y)}dxdy}? [/mm] ich versteh nich so ganz wie ich dann auf die summe komme
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:21 Do 19.11.2009 | | Autor: | simplify |
Ok, das hab ich jetzt doch hinbekommen--- :) , hab jetzt aber leider ein problem von der Umformung auf [mm] \ge(b-a)^2 [/mm] zu kommen....
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, das hab ich jetzt doch hinbekommen--- :) , hab jetzt
> aber leider ein problem von der Umformung auf [mm]\ge(b-a)^2[/mm] zu
> kommen....
Nun, ueberleg dir, dass [mm] $\frac{1}{2}(x [/mm] + 1/x)$ fuer alle $x [mm] \in \IR \setminus \{ 0 \}$ [/mm] immer [mm] $\ge [/mm] 1$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke erstmal für deine Holfe...;)
> also meinst du:
> [mm]\integral_{a^{2}}^{b^{2}}{f(x)*\bruch{1}{f(y)}dxdy}?[/mm]
Ja, nur die Grenzen sind falsch: bei einem zweidimensionalen Integral hast du keine eindimensionalen Grenzen, also
[mm]\integral_{[a,b]\times[a,b]}{f(x)*\bruch{1}{f(y)}dxdy}?[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
