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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo
Ich hab hier ein kleines Problem. Und zwar will ich folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}
[/mm]
Eigentlich hab ich ja kein Problem derartige Integrale zu berechnen. Nun hab ich folgendes gefunden:
Für eine differenzierbare Funktion f mit [mm] f(x)\not=0 [/mm] gilt nach der Quotientenregel [mm] (\bruch{1}{f(x)})'=\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} [/mm] ( Wäre nett , wenn mir jemand erklären könnte , wie man darauf kommt )
Mit [mm] f(x)=1-x^{2} [/mm] erhalten wir [mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}=\integral{\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} dx}=-\bruch{1}{f(x)}=-\bruch{1}{1-x^{2}}
[/mm]
Soweit so gut, aber ich hab das Integral mal ganz normal mit der Substitution [mm] u=1-x^{2} [/mm] berechnet:
[mm] u=1-x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=-2x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{-2x}
[/mm]
Dann erhalte ich:
[mm] (-1)\integral{\bruch{1}{(u)^{2}} du}
[/mm]
und das ist:
[mm] (-1)*\bruch{-1}{1-x^{2}}+C=\bruch{1}{1-x^{2}}+C
[/mm]
Der einzige Unterschied besteht ja im Vorzeichen. Hab ich hier einen Denkfehler?
Vielen Dank für eure Antworten!
Gruß Fabian
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Hi, persilous,
Ave, Loddar,
> [mm]\integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}
[/mm]
>
> Eigentlich hab ich ja kein Problem derartige Integrale zu
> berechnen. Nun hab ich folgendes gefunden:
>
> Für eine differenzierbare Funktion f mit [mm]f(x)\not=0[/mm] gilt
> nach der Quotientenregel
> [mm](\bruch{1}{f(x)})'=\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}}[/mm] ( Wäre nett ,
> wenn mir jemand erklären könnte , wie man darauf kommt )
Ich denke, da liegt ein Tippfehler vor, weil: Im Zähler muss es "-f'(x)" heißen!
Also: h(x) = [mm] \bruch{1}{f(x)}; [/mm] Quotientenregel: h'(x) = [mm] \bruch{0*f(x) - 1*f'(x)}{(f(x))^{2}} =\bruch{-f'(x)}{(f(x))^{2}}. [/mm]
Das war's schon!
>
> Mit [mm]f(x)=1-x^{2}[/mm] erhalten wir
> [mm]\integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx}=\integral{\bruch{-f(x)}{(f(x))^{2}} dx}=-\bruch{1}{f(x)}=-\bruch{1}{1-x^{2}}
[/mm]
Vorzeichenfehler! Das Minuszeichen steht nur bei h'(x)
(siehe meine Herleitung oben),
aber NICHT bei h(x), daher:
[mm] \integral{\bruch{2x}{(1-x^{2})^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] + c = [mm] \bruch{1}{1-x^{2}} [/mm] + c
(Jeweils für x > 1 bzw. -1 < x < 1 bzw. x < -1;
bitte nicht für x [mm] \in [/mm] R \ { [mm] \pm1 [/mm] }; aber das nur nebenbei!)
> Soweit so gut, aber ich hab das Integral mal ganz normal
> mit der Substitution [mm]u=1-x^{2}[/mm] berechnet:
>
> [mm]u=1-x^{2}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=-2x
[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{du}{-2x}
[/mm]
>
> Dann erhalte ich:
>
> [mm](-1)\integral{\bruch{1}{(u)^{2}} du}
[/mm]
>
> und das ist:
>
> [mm](-1)*\bruch{-1}{1-x^{2}}+C=\bruch{1}{1-x^{2}}+C
[/mm]
Was ja auch stimmt: siehe oben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Loddar und Zwerglein,
Vielen Dank für eure Antworten!
Gruß Fabian
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Quotientenregel