Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | löse folgendes Integral [mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{x+1}{\wurzel{x-1}+1} dx} [/mm]
[mm] x=t^2+1 [/mm] |
ich hab für [mm] x=t^2 [/mm] eingesetzt und hab folgendes integral raus aber komme nicht so wirklich weiter also dx = 2tdt
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{t^2+2}{t+1}*2t dt} [/mm] ab dem punkt nicht mehr weiter (zusätlich muss man glaube noch die grenzen verändern oder?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
vielen dank also habe die polynomdif. durchgeführt und komme jetzt auf [mm] t^2+2t [/mm] d.h. unser integral ist [mm] \integral_{a}^{b}{t^2+2t dt} [/mm] wenn wir das nun integrieren erhalten wir [mm] \bruch{1}{3}*t^3+t^2 [/mm] ist das richtig? und wie verhält sich das genau mit den grenzen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> vielen dank also habe die polynomdif. durchgeführt und
> komme jetzt auf [mm]t^2+2t[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die PD geht doch nicht auf ...
Es ist [mm] $(t^3+2t):(t+1)=t^2-t+3-\frac{3}{t+1}$
[/mm]
d.h. unser integral ist
> [mm]\integral_{a}^{b}{t^2+2t dt}[/mm]
Nee, das ist [mm] $2\int{\left(t^2-t+3-\frac{3}{t+1}\right) \ dt}=2\int{t^2 \ dt}-2\int{t \ dt}+6\int{1 \ dt}-6\int{\frac{1}{t+1} \ dt}$
[/mm]
> wenn wir das nun integrieren
> erhalten wir [mm]\bruch{1}{3}*t^3+t^2[/mm] ist das richtig? und wie
> verhält sich das genau mit den grenzen?
Entweder du rechnest alles ohne Grenzen, dann musst du aber resubstituieren, also die Stammfunktion in t wieder in x ausdrücken
ODER du substituierst die Grenzen mit
Die Ausgangsgrenzen waren $x=2$, daraus wird mit der Substitution [mm] $x=t^2+1$ [/mm] also [mm] $2=t^2+1\Rightarrow [/mm] t=1$
Die obere war [mm] $x=5=t^2+1\Rightarrow [/mm] t=2$
Also kannst du das Integral in t ausrechnen in den Grenzen t=1 bis t=4 und musst nicht mehr resubstituieren
Du kannst es aber halten wie ein Dachdecker, ich bevorzuge Resubstitution und alte Grenzen 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
stimmt habe bei der polynomdiv. nen fehler gemacht
also nach dem integrieren hat man also [mm] \bruch{2}{3}*t^3-t^2+6*t-6*ln(t+1) [/mm] wenn man jetzt resubstituiert erhält man für [mm] t=\wurzel{x-1}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{x-1}^3-\wurzel{x-1}^2+6*\wurzel{x-1}-6*ln(\wurzel{x-1}+1)
[/mm]
und dann kann man ganz normal die grenzen 2 und 5 wie am anfang benutzen richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> stimmt habe bei der polynomdiv. nen fehler gemacht
> also nach dem integrieren hat man also
> [mm]\bruch{2}{3}*t^3-t^2+6*t-6*ln(t+1)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wenn man jetzt
> resubstituiert erhält man für [mm]t=\wurzel{x-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{3}*\wurzel{x-1}^3-\wurzel{x-1}^2+6*\wurzel{x-1}-6*ln(\wurzel{x-1}+1)[/mm]
> und dann kann man ganz normal die grenzen 2 und 5 wie am
> anfang benutzen richtig?
Ja, du kannst ja mal beide Varianten probieren, setze mal die alten Grenzen x=2 und x=5 in die resubstituierte Stammfunktion ein und dann mal die substituierten Grenzen t=1 und t=2 in die Stammfunktion in der VAriable t
LG
schachuzipus
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
