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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
| Aufgabe | Gegebenes Integral:
[mm] \integral_{1}^{2}{\wurzel{x} ln x dx}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Rechenweg:
-partielle Integration
u' (x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
v (x) = ln x
[mm] \integral_{1}^{2} {\wurzel{x} ln x dx}
[/mm]
= - [ [mm] \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} [/mm] ln x ] - [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}
[/mm]
weil ich angenommen habe, dass sich [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx} [/mm] aus folgendem ergibt:
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} * \bruch{1}{x} dx}
[/mm]
wird zu:
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2} - 1} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}
[/mm]
als endergebnis komme ich auf:
[mm] \wurzel{8} [/mm] ( - 6/9 ln 2 - 4/9 ) + 4/9 = - 2 /9 [mm] \wurzel{8} [/mm] ( 3 ln 2 - 2 ) + 4/9
korrekt ?
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Hallo phil974,
> Gegebenes Integral:
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> [mm]\integral_{1}^{2}{\wurzel{x} ln x dx}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Rechenweg:
>
> -partielle Integration ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") gute Idee!
>
> u' (x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> v (x) = ln x
>
>
> [mm]\integral_{1}^{2} {\wurzel{x} ln x dx}[/mm]
>
> = - [ [mm]\bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}}[/mm] ln x ] - [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm]
bis auf das allererste Minuszeichen ist das richtig!
>
>
> weil ich angenommen habe, dass sich [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm]
> aus folgendem ergibt:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2}} * \bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> wird zu:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} x^{\bruch{3}{2} - 1} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{ \bruch{2}{3} \wurzel{x} dx}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> als endergebnis komme ich auf:
>
> [mm]\wurzel{8}[/mm] ( - 6/9 ln 2 - 4/9 ) + 4/9 = - 2 /9
> [mm]\wurzel{8}[/mm] ( 3 ln 2 - 2 ) + 4/9
>
> korrekt ?
Puh, das ist kaum zu entziffern, ich gklaube aber, es stimmt nicht ganz:
Du hattest (das letzte Integral mal explizit mit ausgerechnet bzw. hingeschrieben und ohne den VZF) als Stammfunktion
[mm] $\left[\frac{2}{3}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\cdot{}\ln(x)-\frac{4}{9}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^2$
[/mm]
[mm] $=\left[\frac{2}{3}\cdot{}x^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\ln(x)-\frac{2}{3}\right)\right]_{\green{1}}^{\blue{2}}$
[/mm]
[mm] $=\red{\left(}\frac{2}{3}\cdot{}\blue{2}^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\ln(\blue{2})-\frac{2}{3}\right)\red{\right)} [/mm] \ - \ [mm] \red{\left(}\frac{2}{3}\cdot{}\green{1}^{\frac{3}{2}}\cdot{}\left(\underbrace{\ln(\green{1})}_{=0}-\frac{2}{3}\right)\red{\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{4}{3}\cdot{}\ln(2)\cdot{}\sqrt{2}-\frac{8}{9}\cdot{}\sqrt{2}+\frac{4}{9}$
[/mm]
denn [mm] $2^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=2^1\cdot{}2^{\frac{1}{2}}=2\cdot{}\sqrt{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 25.09.2008 | | Autor: | phil974 |
hups, natuerlich kein minus vor dem ersten teil der partiellen integration.
hab es eben nochmal nachgerechent, komme nun auch auf das etwas ansehnlichere ergebnis *g*
danke
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