Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral{u^2\wurzel{2-u}du} [/mm] |
Hallo allerseits!
Ich hab zwar einen Lösungsweg gefunden, er erscheint mir aber etwas zu aufwendig. Könnte mir bitte jemand sagen, ob es auch noch einen anderen(weniger aufwendigen) gibt?Würde mich über einen Substitutionstipp freuen!
[mm] \integral{u^2\wurzel{2-u}du} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*\integral{u^2*\wurzel{1-\bruch{u}{2}}du} [/mm]
[mm] \bruch{u}{2}=sin^2(z)
[/mm]
du=4sin(z)*cos(z)dz
[mm] 16*\wurzel{2}*\integral{sin^5(z)*cos^2(z)dz} [/mm]
[mm] 16*\wurzel{2}*\integral{(1-cos^2(z))^2*cos^2(z)*sin(z)dz} [/mm]
cos(z)=x
x'=-sin(z)
[mm] dz=\bruch{dx}{-sin(z)}
[/mm]
[mm] -16*\wurzel{2}*\integral{(1-x^2)^2*x^2dx} [/mm]
[mm] -16*\wurzel{2}*\integral{x-2x^3+x^5dx} [/mm]
Stf.
[mm] -16*\wurzel{2}*[\bruch{x^2}{2}-\bruch{1x^4}{2}+\bruch{x^6}{6}]+C
[/mm]
[mm] -16*\wurzel{2}*[\bruch{cos^2(arcsin(\wurzel{\bruch{u}{2}})}{2}-\bruch{cos^4(arcsin(\wurzel{\bruch{u}{2}})}{2}+\bruch{cos^6(arcsin(\wurzel{\bruch{u}{2}})}{6}]+C
[/mm]
Stimmt das überhaupt? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Vielen Dank!
Gruß 
Angelika
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Sa 12.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist viel einfacher mit v=2-u dv=-du
und u=v-2 zu arbeiten. das Quadrat ausführen, mit [mm] v^{1/2} [/mm] ausmultipl. und integrieren.
(bei wurzeln immer zuerst versuchen, das Innere zu subst.)
Gruss leduart
|
|
|
|
