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| Aufgabe | | [mm] \integral{x^4*ln(x^2-1)dx} [/mm] |
Hallo allerseits!
Ich komme bei dieser Übung nicht weiter, sie sollte ja durch partielle Integration lösbar sein aber bin irgendwie in einer Sackgasse gelandet..![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Vielleicht ist es aber auch nur eine Kleinigkeit, die ich übersehe. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Meine Ansätze:
[mm] v'=x^4 v=\bruch{x^5}{5}
[/mm]
[mm] u=ln(x^2-1) u'=\bruch{2x}{x^2-1}
[/mm]
[mm] \integral{x^4*ln(x^2-1)dx}=\bruch{ln(x^2-1)*x^5}{5}-\bruch{2}{5}\integral{\bruch{x^6}{x^2-1}dx}
[/mm]
Wie kann ich diese Aufgabe ohne PBZ lösen?
Habs auch schon mit subst. [mm] x^2-1=u [/mm] probiert, fand ich aber nicht so gut.
Eine Idee meinerseits wäre auch [mm] x^6:(x^2-1)= [/mm] zu teilen. Ist das zielführend oder geht es einfacher?
Vieln Dank! 
LG
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 08.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dein Ansatz mit der partiellen Integration für zum Erfolg. Substitution bringt nichts.
Okay, es geht dir dann um das Integral von [mm] $\frac{x^6}{x^2-1}$
[/mm]
Versuch jetzt ertstmal via Polynomdivision den Ausdruck etwas umzuformen, so lange, bis Zählergrad kleiner Nennergrad ist. Dann kannst du PZB machen, so dass du den Bruch dann recht leicht integrieren kannst.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Di 08.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Soll ja ohne PBZ ablaufen :)
Trotzdem solltest du dann Polynomdivision durchführen. Und du solltest wissen, wie das Integral von [mm] \bruch{1}{x²-1}=-\bruch{1}{1-x²} [/mm] lautet!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 08.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
aber wenn man das Integral mal nicht im Kopf hat, dann kann man sich schnell eine PZB herleiten, und dann sagen, dass man die SF davon "aus dem Kopf" kann.
Ich muss zugeben, ich wüsste jetzt so direkt aus dem Kopf nicht, wie die SF dazu aussehen sollte, deshalb wäre PZB nicht so verkehrt, aber wenn das ganze ohne PZB gehen soll, damm muss mans eben "wissen".
LG
Kroni
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Hallo Teufel und Kroni!
Ich möchte mich zunächst bei euch beiden bedanken ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
Ich hatte ja schon in meiner Frage daran gedacht [mm] x^6:(x^2-1) [/mm] zu dividieren.Ich erhalte dabei:
[mm] x^4+x^2+1+\bruch{1}{x^2-1} [/mm] Stimmt das so? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Dann ist ja alles leicht zu integrieren.Aber noch eine Frage:
[mm] \integral{\bruch{dx}{1-x^2}}= [/mm] artanh(x)+C für |x|<1
arcoth(x) +Cfür |x|>1
In diesem Fall müsste ich korrekterweise doch beide Stammf. dazuschreiben, oder?
Danke!
LG
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 08.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angelika!
Ich würde die Stammfunktion ganz ohne $artanh_$ darstellen, indem Du den Bruch wie folgt zerlegst und einzeln integrierst:
[mm] $$\bruch{1}{x^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x+1)*(x-1)} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x+1}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke Loddar!
Ja, das wird im Ergebniss wahrscheinlich doch am übersichtlichtsten aussehen....
Also mach ichs trotzdem mit Partialbruchzerlegung.
Gruß
Angelika
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