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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{A}^{}{(2|x|y² -3|x|) } dx dy}
[/mm]
wobei A = {(x,y) [mm] \in \IR² [/mm] : [mm] 1\le x²+y²\le [/mm] 4, |y| [mm] \le [/mm] |x|, [mm] x\ge [/mm] 0} |
Hallo alle zusammen.
Die Fläche welche ich habe ist ein Kreisring, welcher durch die Funktionen y=x und y=-x begrenzt werden auf der positiven Seite von x aufgrund von:
y [mm] \le [/mm] |x| und y [mm] \ge [/mm] -|x| (Danke nochmal an Angela ;) )
Klar ersichtlich, mein Integral verläuft zwischen dem Winkel t welcher zwischen [mm] -\pi/4 [/mm] und [mm] \pi/4 [/mm] variiert und r zwischen 1 und 2.
Polarkoordinaten + Jacobi:
[mm] \integral_{-\pi/4}^{\pi/4}{\integral_{1}^{2}{r*(2*r³costsint-3rcost) dr}dt}, [/mm] integriert nach r:
[mm] 2*\bruch{r^{5}}{5}costsint-r³cost [/mm] zwischen 1 und 2 was folgendes ergibt:
[mm] \bruch{64}{5}costsin²t+7cost
[/mm]
Jetzt Integral nach t, also dem Winkel:
[mm] \bruch{62}{5}*\integral_{}^{}{costsin²t dt} [/mm] - [mm] 7*\integral_{}^{}{cost dt}
[/mm]
Lösen durch: [mm] \integral_{a}^{b}{uv'} [/mm] = uv- [mm] \integral_{a}^{b}{u'v}
[/mm]
wobei: u sin²t und u'=2sintcost und v'=cost und v=sint
also:
[mm] \bruch{62}{5}*(sin³t [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{2sintcos²t dt})
[/mm]
Problem: [mm] \integral_{}^{}{costsin²t dt} [/mm] mit u=cost, u'=-sint somit [mm] \bruch{du}{-sint}=dt [/mm] also:
[mm] \bruch{62}{5}*\integral_{}^{}{2sint*u² \bruch{du}{-sint}} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{}{2 u² du} [/mm] = sin³t +2/3*cos²t
in der Gesamtrechnung:
[mm] \bruch{62}{5}*(sin³t+\bruch{2}{3}cos²t)-t*sint [/mm] zwischen [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] -\pi/4
[/mm]
was 124/5 ergibt. Herauskommen sollten jedoch [mm] 74/15*\wurzel(2)
[/mm]
ich kanns einfach nicht nachvollziehen wo der Fehler liegen sollte. Ich denke irgendwo in der Substitution aber wenn ich mir die anschaue scheint es doch richtig gemacht, oder etwa nicht?
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mo 23.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab nicht alles nachgerechnet, aber du wechselst in der Mitte plötzlich von 64/5 auf 62/5 wieso?
2. warum machst du erst part. Integration , dann fast dasselbe Integral substitution. mach gleich Subst. oder noch besser man sieht:(sin^3t)'=3sin^2t*cost
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 24.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> Ich hab nicht alles nachgerechnet, aber du wechselst in
> der Mitte plötzlich von 64/5 auf 62/5 wieso?
64/5 - 2/5 = 62/5
> 2. warum machst du erst part. Integration , dann fast
> dasselbe Integral substitution. mach gleich Subst. oder
> noch besser man sieht:(sin^3t)'=3sin^2t*cost
Meiner Meinung nach lässt es sich so besser integrieren, andernfalls hätte ich bei der Substitution sowas wie: [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)*u du} [/mm] und da kommt nicht das richtige heraus, irgendwie.
PS Wir hatten damals doch das Gespräch über den Fluss - Gegeben sei ein Kreis mit Radius 1 mit einem Vektorfeld von (1,2,3) und zu berechnen war der Fluss "verso l'alto", also nach oben. Wir hatten damals Probleme mit dem Vektor. Laut Professor ist das nach oben n:=(1,1,1), jedoch muss ich dort das Vektorfeld nicht mit n multiplizieren sondern mit dem "Normalversor" (wieso das weiß ich nicht ganz), jedenfalls (1,2,3) * n wobei n:= [mm] (\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}}). [/mm] Dann kommt das richtige heraus irgendwie
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \bruch{64}{5}\cdot{}\integral_{}^{}{costsin²t dt} [/mm] $
u=sint, du=costdt
Damit hat man
[mm] $\bruch{64}{5}\cdot{}\integral_{}^{}{u^2du}$ [/mm]
und vermeidet weitere Fehler. (was mit cos geht, geht immer auch mit sin!)
(dass man immer den Einheitsnormalenvektor braucht, dachte ich hätte ich gesagt, und dass ad alto nicht in z- Richtung, sondern auf die pos. Seite der Fläche zeigt, hatte ich doch auch gesagt. nach unten hiesse dann (-1,-1,-1))
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:38 Di 24.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> [mm]\bruch{64}{5}\cdot{}\integral_{}^{}{costsin²t dt}[/mm]
> u=sint,
> du=costdt
> Damit hat man
> [mm]\bruch{64}{5}\cdot{}\integral_{}^{}{u^2du}[/mm]
> und vermeidet weitere Fehler. (was mit cos geht, geht immer
> auch mit sin!)
Das stimmt, mein Fehler in der Hinsicht war, dass ich u=sin²t genommen hatte, und domit du für mich nur noch dümmer ausgesehen hat als vorher. Ei Ei Ei, immer diese Fehler. Gleich nochmal nachrechnen alles :) Dankeschön
> (dass man immer den Einheitsnormalenvektor braucht, dachte
> ich hätte ich gesagt, und dass ad alto nicht in z-
> Richtung, sondern auf die pos. Seite der Fläche zeigt,
> hatte ich doch auch gesagt. nach unten hiesse dann
> (-1,-1,-1))
> Gruss leduart
Hattest du auch gesagt, nur ich habs mit (1,1,1) durchgerechnet. Nur da kommt man doch auch nicht auf das Ergebnis, das sein sollte. Denn wieso muss ich das Vektorfeld mit dem Versor multiplizieren, wenn ich bereits den Vektor habe?
Oder kann es sein, dass man ein Vektorfeld nicht mit einem Vektor sondern einem Versor multiplizieren muss?
Danke
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 28.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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