Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | $\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{t^2-4}\ \ dt}$ |
Hi,
ich wollte folgendes Integral berechnen:
$\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{t^2-4}\ \ dt}$
Daraus habe ich folgendes gemacht: $\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{(t+2)*(t-2)}\ \ dt}$
Dann habe ich eine Partitialbruchzerlegung gemacht mit folgendem Ergebnis: $\red{A=2;\ B=1}$. Wie könnte ich mein Ergebnis selbst kontrollieren? (Einmal "manuell" und einmal evtl. mit Derive)
$\integral_{-1}^{1}{\bruch{A}{(t+2)} - \bruch{B}{(t-2)} \ \ dt}$
$\integral_{-1}^{1}{\bruch{2}{(t+2)} - \bruch{1}{(t-2)} \ \ dt}$
Daraus würde ich jetzt mal zwei Integrale machen:
$\integral_{-1}^{1}{\bruch{2}{(t+2)} \ \ dt - \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t-2)}} \ \ dt $
$2*\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t+2)} \ \ dt - \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t-2)}} \ \ dt $
$2*ln(t+2)) - ln(t-2)$ (In den entsprechenden Grenzen, ich kann sie nicht mit LaTeX darstellen)
$2*(ln(1+2) - ln(-1+2)) - (ln(1-2) - ln(-1-2))$
$2*(ln(3) - ln(1)) - (ln(-1) - ln(-3))$
Stimmt das soweit? - Ich weiß ich könnte es noch nach Log-Gesetzen vereinfachen :) mach es auch wenn die Aufgabe stimmen würde :)
Danke
Grüße Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> ich wollte folgendes Integral berechnen:
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{t^2-4}\ \ dt}[/mm]
>
> Daraus habe ich folgendes gemacht:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{(t+2)*(t-2)}\ \ dt}[/mm]
>
>
> Dann habe ich eine Partitialbruchzerlegung gemacht mit
> folgendem Ergebnis: [mm]\red{A=2;\ B=1}[/mm]. Wie könnte ich mein
> Ergebnis selbst kontrollieren? (Einmal "manuell" und einmal
> evtl. mit Derive)
Durch Ausmultiplizieren.
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{2}{(t+2)} - \bruch{1}{(t-2)} \ \ dt}[/mm]
Das bekomme ich auch heraus.
> Daraus würde ich jetzt mal zwei Integrale machen:
>
> [mm]2*\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t+2)} \,dt - \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t-2)}} \,dt[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]2*ln(t+2)) - ln(t-2)[/mm] (In den entsprechenden Grenzen, ich
> kann sie nicht mit LaTeX darstellen)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Erst einmal ist das Integral nicht definiert, wenn der Nenner im Integrationsbereich 0 wird. Das ist hier nicht der Fall, aber du musst mit den Vorzeichen aufpassen. Im Reellen ist der Logarithmus für negatives Argument nicht definiert.
Korrekt:
[mm] 2 \ln(t+2)\Bigr|_{-1}^{+1} - \ln |t-2| \Bigr|_{-1}^{+1} = 3 \ln 3[/mm]
Es gibt eine Alternative zur Partialbruchzerlegung:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{t-6}{t^2-4}\,dt = \integral_{-1}^{1}{\bruch{t}{t^2-4}\,dt -6 \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{t^2-4}\,dt[/mm].
Das erste Integral ist 0, weil der Integrand ungerade ist. Der zweite Integrand ist gerade, sodass man das zweite Integral zu
[mm] -6 \cdot 2\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t^2-4}\,dt= 6 \mathop{\mathrm{Artanh}}(t/2)\Bigr|_{0}^{1} = 6 \mathop{\mathrm{Artanh}}(1/2) = 3 \ln 3[/mm]
vereinfachen kann.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Rainer!
Du musst hier aber schon bei Deinem Alternativweg den "normalen" [mm] $\arctan(x)$ [/mm] verwenden und nicht den hyperbolischen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Roadrunner,
> Du musst hier aber schon bei Deinem Alternativweg den
> "normalen" [mm]\arctan(x)[/mm] verwenden und nicht den
> hyperbolischen.
Aber die Ableitung von [mm]\arctan(x)[/mm] ist [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm], und im Integranden steht [mm]\bruch{1}{4-x^2}[/mm]. Die Ableitung von [mm]\mathop{\mathrm{Artanh}}(x)[/mm] ist [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm]. Oder stehe ich auf der Leitung?
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Rainer!
Wer lesen kann .... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Du hast natürlich Recht!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hi,
also ich hab das soweit richtig bis auf am Ende habe ich das mit dem ln nicht wirklich hin bekommen.
Könntest mir nochmal jemand erklären wie ich diese ln's addiere und subtrahiere? Vorallem auch wenn es um negative ln's geht.
Danke
Grüße Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Thomas,
> also ich hab das soweit richtig bis auf am Ende habe ich
> das mit dem ln nicht wirklich hin bekommen.
>
> Könntest mir nochmal jemand erklären wie ich diese ln's
> addiere und subtrahiere? Vorallem auch wenn es um negative
> ln's geht.
Meinst du Logarithmen mit negativem Argument? Die sind nicht definiert und kommen nicht vor.
Nochmal ausführlich:
[mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{(t-2)}} \,dt = \ln|t-2|\,\Bigr|_{-1}^{1} = \ln |3| - \ln |-1| = \ln3 - \ln 1 = \ln 3[/mm].
Grüße
Rainer
|
|
|
|
