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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Di 03.10.2006 | | Autor: | Steffi21 |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt,
ich will das Integral [mm] \integral \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] dx lösen, das Integral von x ist [mm] \bruch{1}{2} x^{2}, [/mm] das Integral von [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] ist arctan x
Wer kann mir einen Hinweis geben, wie ich das gesamte Integral lösen kann, ich habe mich schon an der partiellen Integration mit u=x und v´= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] versucht, komme aber dann nicht weiter, Danke im voraus, Steffi |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt,
ich will das Integral [mm] \integral \bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] dx lösen, das Integral von x ist [mm] \bruch{1}{2} x^{2}, [/mm] das Integral von [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] ist arctan x
Wer kann mir einen Hinweis geben, wie ich das gesamte Integral lösen kann, ich habe mich schon an der partiellen Integration mit u=x und v´= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] versucht, komme aber dann nicht weiter, Danke im voraus, Steffi
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Der Witz hier ist, daß einem auffällt, daß der Zähler des Bruches (fast) die Ableitung des Nenners ist. Das kann man mit Hilfe konstanter Faktoren auch noch zurechtbiegen:
[mm]\frac{x}{1 + x^2} = x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \frac{1}{1 + x^2}[/mm]
Der konstante Faktor [mm]\frac{1}{2}[/mm] macht beim Integrieren keine Schwierigkeiten. Wenn du nun [mm]v(x) = 1 + x^2[/mm] setzt, dann hat das Integral die Gestalt
[mm]\frac{1}{2} \int~\frac{1}{v(x)} \cdot v'(x)~\mathrm{d}x[/mm]
Falls du die Substitutionsregel für Integrale kennst, solltest du jetzt sehen, wie es weitergeht. Ansonsten ist das Beispiel hier so gemacht, daß man die Stammfunktion auch erraten kann.
Siehst du die Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 03.10.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Ich habe [mm] u=1+x^{2} [/mm] substituiert, dann ist [mm] \bruch{du}{dx}=2x, [/mm] also [mm] dx=\bruch{du}{2x}, [/mm] ergibt Integral
[mm] \integral {\bruch{1}{u} 2x\bruch{du}{2x}}, [/mm] also [mm] \integral {\bruch{1}{u} du}, [/mm] ergibt ln(u), zurücksubstituieren [mm] ln(1+x^{2}),
[/mm]
Danke, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 03.10.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo Steffi,
> Ich habe [mm]u=1+x^{2}[/mm] substituiert, dann ist
> [mm]\bruch{du}{dx}=2x,[/mm] also [mm]dx=\bruch{du}{2x},[/mm] ergibt Integral
> [mm]\integral {\bruch{1}{u} 2x\bruch{du}{2x}},[/mm]
Achtung hier liegt ein Fehler vor! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
richtig:
[mm] \integral {\bruch{1}{u} x\bruch{du}{2x}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\integral {\bruch{1}{u} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{ln(1+x^{2})}{2}
[/mm]
-->Lösung
Beste Grüße
Stefan
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