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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgedne Integral:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xsin(ax)}{x^2+1} dx}[/mm] (a>0) |
Hallo hallo,
also ich soll das Integral mit Hilfe von Residuen berechnen. Aber ehrlich gesagt, ich finde keinen Ansatz. Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll. Könnt ihr mir helfen?
Vielen Dank im voraus.
LG
Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 21.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elbi!
> Berechnen Sie das folgedne Integral:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{xsin(ax)}{x^2+1} dx}[/mm]
Der Integrand ist (auf der reellen Achse) der Imaginaerteil von der meromorphen Funktion $f : [mm] \IC \to \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto \frac{x e^{i a x}}{x^2 + 1}$.
[/mm]
Integriere nun ueber Kurven [mm] $\Gamma_r$ [/mm] (fuer $r > 0$ gross genug), die aus dem Intervall $[-r, r]$ und dem Halbkreis mit Radius $r$ in der oberen Halbebene bestehen. Das Integral darueber kannst du ueber den Residuensatz ausrechnen.
Spalte das Kurvenintegral nun auf in einmal das Intervall ueber $[-r, r]$ (das willst du haben, bzw. den Imaginaerteil davon) und ueber den Halbkreis. Zeige, dass das Integral ueber den Halbkreis fuer $r [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 geht.
LG Felix
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