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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{x^2-2x+3} dx} [/mm] |
Ich hätte das Integral getrennt in
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^2-2x+3}dx} +\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2-2x+3} dx}
[/mm]
das rechte integral ergibt [mm] \bruch{\wurzel[]{2}}{2} [/mm] arctan [mm] (\bruch{x-1}{\wurzel[]{2}})
[/mm]
Bleibt als noch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^2-2x+3}dx}
[/mm]
Hier würde sich substitution anbieten. [mm] t=x^2-2x+3
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 2x-2
jetzt addiere ich eine "0" hinzu um die 2x-2 ersetzen zu können:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2x-2+2}{x^2-2x+3}dx}
[/mm]
und daraus käme dann [mm] 2ln(x^2-2x+3)
[/mm]
aber das ergebnis stimmt nicht...
woran liegts denn ?
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x+1}{x^2-2x+3} dx}[/mm]
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> Ich hätte das Integral getrennt in
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^2-2x+3}dx} +\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2-2x+3} dx}[/mm]
>
> das rechte integral ergibt [mm]\bruch{\wurzel[]{2}}{2}[/mm] arctan
> [mm](\bruch{x-1}{\wurzel[]{2}})[/mm]
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> Bleibt als noch [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x}{x^2-2x+3}dx}[/mm]
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> Hier würde sich substitution anbieten. [mm]t=x^2-2x+3[/mm]
> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = 2x-2
> jetzt addiere ich eine "0" hinzu um die 2x-2 ersetzen zu
> können:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2x-2+2}{x^2-2x+3}dx}[/mm]
> und daraus käme dann [mm]2ln(x^2-2x+3)[/mm]
>
> aber das ergebnis stimmt nicht...
> woran liegts denn ?
Mein Tipp: Zerlege den Integranden ein bisschen anders,
nämlich so:
[mm] $\bruch{2x+1}{x^2-2x+3}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{2x-2}{x^2-2x+3}\ [/mm] +\ [mm] \bruch{3}{x^2-2x+3}$
[/mm]
Dann wird das erste Integral mit der Substitution $\ z\ =\ [mm] x^2-2x+3$
[/mm]
ganz leicht lösbar, und beim zweiten hast du gegenüber dem,
was du schon hattest, nur den zusätzlichen Faktor 3 .
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Fr 21.08.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
Okay dann isses ja ganz einfach. Darauf muss man erst mal kommen was man wie umformt. Dankeschön
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> Okay dann isses ja ganz einfach. Darauf muss man erst mal
> kommen was man wie umformt. Dankeschön
Dieser einfache "Trick" (ist es überhaupt einer ?) ist aber
hervorragend zur Wiederverwendung in vielen Situationen
geeignet. Beim Umformen einfach ein bisschen voraus
denken, denn manchmal kann man sich dabei wünschen, wie
der Zielausdruck aussehen sollte, damit man damit leicht
weiter verfahren kann !
LG , Al-Chw.
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