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| Aufgabe | Im Intervall [a;b] ist der Graph G einer differenzierbaren Funktion f gegeben mit f'(x)>0 für alle x aus [a;b]. Auf G liegt der Punkt P(t; f(t)).
G schneidet die y-Achse in Q und die Gerade x=b in U. Die Parallele zur x-Achse durch P schneidet die y-Achse in R und die Gerade x=b in T.
Der Kurvenbogen QP auf G und die Strecken PR und RQ begrenzen die Fläche [mm] A_{1}. [/mm] Der Kurvenbogen UP auf G und die Strecken PT und TU begrenzen die Fläche [mm] A_{2}.
[/mm]
Für welchen Wert t hat die Summe der Flächeninhalte von [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] ihr globales Minimum? |
Für diese Aufgabe habe ich zwei konkurrierende Lösungmöglichkeiten von denen eine scheinbar problemlos falsifizierbar ist und die andere in eine Sackgasse führt. Die eine ist f(t)= [mm] \bruch{ -f(0)+f(b)}{2} [/mm] , die andere enthält 2bt, leider finde ich momentan meinen Hefter nicht.
Die letztendliche Lösung mit kurzer Begründung würde ausreichen, falls sich jemand nicht die Mühe eines gesamten Lösungswegs machen möchte, wofür ich aber sehr dankbar wäre.
Vielen Dank im Voraus!
Kaliya
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fehlt da nicht etwa noch die Bedingung a = 0 ?
LG al-Chw.
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> Im Intervall [a;b] ist der Graph G einer differenzierbaren
> Funktion f gegeben mit f'(x)>0 für alle x aus [a;b]. Auf G
> liegt der Punkt P(t; f(t)).
>
> G schneidet die y-Achse in Q und die Gerade x=b in U. Die
> Parallele zur x-Achse durch P schneidet die y-Achse in R
> und die Gerade x=b in T.
>
> Der Kurvenbogen QP auf G und die Strecken PR und RQ
> begrenzen die Fläche [mm]A_{1}.[/mm] Der Kurvenbogen UP auf G und
> die Strecken PT und TU begrenzen die Fläche [mm]A_{2}.[/mm]
>
> Für welchen Wert t hat die Summe der Flächeninhalte von
> [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] ihr globales Minimum?
> Für diese Aufgabe habe ich zwei konkurrierende
> Lösungmöglichkeiten von denen eine scheinbar problemlos
> falsifizierbar ist und die andere in eine Sackgasse führt.
> Die eine ist f(t)= [mm]\bruch{ -f(0)+f(b)}{2}[/mm] , die andere
> enthält 2bt, leider finde ich momentan meinen Hefter
> nicht.
>
> Die letztendliche Lösung mit kurzer Begründung würde
> ausreichen, falls sich jemand nicht die Mühe eines gesamten
> Lösungswegs machen möchte, wofür ich aber sehr dankbar
> wäre.
>
> Vielen Dank im Voraus!
> Kaliya
Hallo Kaliya,
das ist nach meiner Meinung eine sehr schöne Aufgabe,
weil sie so ganz ohne Zahlen auskommt und trotzdem
ganz wesentliche Überlegungen zur Differential- und
Integralrechnung erfordert. Die Lösung ist sehr einfach
und erfordert ebenfalls keine Rechnung, wenn man sie
"sieht". Ich möchte gerne vielen den Genuss erlauben,
selber auf die Lösung zu kommen und will deshalb die
Lösung nicht "ausplaudern"...
Nur ein kleiner Tipp: eine gute Figur erstellen und über-
legen, was bei einer kleinen Verschiebung von P geschieht.
viel Vergnügen beim Lösen !
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Do 05.06.2008 | | Autor: | kaliyanei |
Mir gefällt die Aufgabe ja auch  Allerdings, könntest du die Lösung mir per PM schicken oder mit einer Spoilerwarnung doch noch posten? Oder mir zumindest sagen ob beide angegebenen Lösung(steile) eventuell falsch sind?
Und nein, a=0 ist nicht anzugeben. Man kann aber davon ausgehen, dass a<=0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kaliya!
Es wäre aber sehr schön, wenn Du hier Deine Lösung mit Zwischenschritten posten würdest.
Ich habe jedenfalls erhalten: [mm] $t_{\min} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Lösungsweg
der ohne ausführliches Integrieren und Ableiten auskommt
und sich an Überlegungen anlehnt, wie sie z.B. schon
Pierre de Fermat (1607 - 1665) anstellte:
Wenn man t um ein kleines Stücklein dt vergrössert,
so verschiebt sich P längs der Kurve ein wenig:
Aus [mm]\ P(t/f(t))[/mm] wird [mm]\ P(t+dt/f(t)+dy)[/mm]
Dabei wächst das linke Flächenstück [mm] A_1 [/mm] um ein bisschen,
nämlich um ein Streifchen der Länge [mm]\ t-a [/mm] und der Breite dy.
[mm] A_2 [/mm] wird etwas kleiner, nämlich um das Streifchen der
Länge [mm]\ b-t[/mm] und der gleichen Breite [mm]\ dy=f(t+dt)-f(t)[/mm].
Nun kann man sich klar machen: solange P links von der
Geraden [mm]\ x=\bruch{a+b}{2}[/mm] ist, kann man die Gesamt-
Fläche [mm]\ A = A_1+A_2[/mm] verkleinern, wenn man P etwas
näher gegen die Mitte rückt. Ebenso, falls P in der
rechten Hälfte liegt: A nimmt ab, wenn man P nach links
gegen die Mitte rückt.
Etwas genauer ausgedrückt: (ich setze jetzt hier [mm]\ a=0)[/mm]
[mm]\ dA_1 = t*dy[/mm]
[mm]\ dA_2 = - (b-t)*dy[/mm]
[mm]\ dA = dA_1+dA_2 = t*dy - (b-t)*dy = (2*t-b)*dy[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\ \bruch{dA}{dy}=2*t-b[/mm]
[mm]\bruch{dA}{dy}=2*t-b = 0[/mm] , wenn [mm]\ 2*t=b[/mm] oder [mm]\ t= \bruch{b}{2}[/mm]
Die Gesamtfläche A wird extremal, und zwar minimal,
wenn P exakt in der Mitte liegt, d.h. [mm]\ t = \bruch{b}{2}[/mm]
Man kann natürlich auch einen Beweis durch ausführliche
formale Rechnung führen: Integration nach x, um die
Teilflächen darzustellen, nachher Ableitung der Gesamt-
fläche nach t für die Extremalaufgabe.
Mir ist aber in diesem Fall die anschauliche Überlegung
eindeutig lieber.
Schönen Gruß ! al-Chwarizmi
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