Integr. gebr. ratio. in ln-Fkt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Also Ich habe das Problem folgende Funktion zu integrieren:
[mm] h_a=ln \left( \bruch{a * x}{1+x^2} \right)
[/mm]
Meine Versuche waren bisher zuerst die gebrochen rationale Funktion im innern der ln Funktion zu integrieren. Da hatte ich dann:
[mm] \bruch{a}{2} \left[ ln(1+x^2) \right]
[/mm]
und dann kenne ich ja noch eine Stammfunktion von ln:
x*ln(x)-x
Aber wie komme ich nur zur eigentlichen Stammfunktion??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!!
nein,das nützt dir nicht viel wenn du es getrennt machst!!
Ich würde 1+x² substituieren:
z(x)=1+x²
=> [mm] \bruch{dz}{dx}=2x
[/mm]
=> dx=1/2x *dy
einsetzen,dann kürzt sich das obere x weg und du kannst den ln ganz normal integrieren --> Formelsammlung zu Hilfe nehmen
MFG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 So 27.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo nitro!
Das mit dem "x rauskürzen" wird nicht funktionieren, da das ursprüngliche $ax$ als Argument der ln-Funktion steht.
Und hier dann zu kürzen, wäre doch ein "mathematisches Schwerverbrechen" ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 27.02.2005 | | Autor: | nitro1185 |
hallo!!
Da muss ich die wohl recht geben.Im ln Ausdruck würde es sich wegkürzen,aber das bringt nichts,da das dy im ln Ausdruck stehen würde.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> Im ln Ausdruck würde es sich wegkürzen, aber das bringt nichts,
> da das dy im ln Ausdruck stehen würde.
Das stimmt so aber auch nicht !!!!
Deine Substitution sähe folgendermaßen aus:
[mm] $h_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln \left( \bruch{ax}{1+x^2} \right)$
[/mm]
$z \ := \ [mm] 1+x^2$
[/mm]
[mm] $\bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $ dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral_{}^{} {h_a(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\ln \left( \bruch{ax}{1+x^2} \right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\ln \left( \bruch{ax}{z} \right) \ \bruch{dz}{2x}} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ ...$
Und hier bleiben wir dann hängen!
Aber wir haben ja inzwischen eine Lösung erarbeitet ... 
Loddar
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Um meinen Fehler aufzuheben will ich einen Lösungsvorschlag zum Integral von ln(1+x²) geben!
[mm] \integral_ [/mm] {ln(1+x²) *1 dx}=
Partielle Integration: f=ln(1+x²) f'= [mm] \bruch{2x}{1+x²} [/mm] g= x g'= 1
=> [mm] \integral_ [/mm] {ln(1+x²) *1 dx}= ln(1+x²)*x - [mm] \integral {\bruch{2x²}{1+x²} dx}
[/mm]
So nun kannst du die partial Bruchzerlegung anwenden...............
Problem: 1+x² hat komplexe Lösungen
=> Du musst quadratisch ergänzen
mfg daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 27.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Guter Ansatz (hätte ich ja auch drauf kommen können ...)
> [mm]\integral_[/mm] {ln(1+x²) *1 dx}=
>
> Partielle Integration: f=ln(1+x²) f'=
> [mm]\bruch{2x}{1+x²}[/mm] g= x g'= 1
>
> => [mm]\integral_[/mm] {ln(1+x²) *1 dx}= ln(1+x²)*x -
> [mm]\integral {\bruch{2x²}{1+x²} dx}[/mm]
Du brauchst hier aber keine keine Partialbruchzerlegung, sondern über Polynomdivision erhält man:
[mm] $\bruch{2x^2}{1+x^2} [/mm] \ = \ 2 - [mm] \bruch{2}{1+x^2} [/mm] \ = \ 2 - 2 * [mm] \bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Dann muß man noch wissen: [mm] $\left[ \arctan(x) \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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