Integr. einer Beschleunigung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Vorni |
| Aufgabe | In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke l aus der Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit ve beschleunigt. Geg.: a0=100m/s² ; l=0,5m
Ges.: Bestimmen Sie die ve für die dargestellten Verläufe der Beschleunigung.
Hinweis: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{a-x}dx}=-[aln(|x-a|)+x] [/mm] |
Hallo und zwar bin ich etwas verwirrt, was die Hilfestellung die wir bekommen haben angeht. Der Verlauf, um den es sich in der Aufgabenstellung handelt ist eine sinkende Gerade von a0 für v=0 und a0/2 für v=ve
So was ich jetzt habe ist. Für die "Beschleunigungsfunktion" [mm] a(ve)=\bruch{-a0}{2*ve}*v+a0"
[/mm]
Und ich habe den Ansatz: [mm] a=\bruch{dv}{ds}*v
[/mm]
Jetzt habe ich das umgestellt und versucht das ein wenig umzustellen und komme auf folgendes Integral/Lösung:
[mm] s=\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a0-\bruch{a0}{2*ve}*v} dv}
[/mm]
Soweit sollte es stimmen.
Jetzt bin ich mir sicher es käme der Schritt den Hinweis aus der Aufgabenstellung zu verwenden, allerdings hat das v im Nenner ja einen Vorfaktor und im Zähler nicht, aber im Hinweis steht ja einfach nur x da, was ja gleich dem v wäre. Ich weis einfach nicht, wie ich das mit dem Hinweis verwalten sollte.
Klar ist mir auch, dass nach der Integration ich nach meinem ve auflösen muss, dass ist ja schließlich gefragt, aber es scheitert ja schon vorher.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> In einer Ballmaschine werden Tennisbälle auf der Strecke l
> aus der Ruhelage bis zur Endgeschwindigkeit ve
> beschleunigt. Geg.: a0=100m/s² ; l=0,5m
> Ges.: Bestimmen Sie die ve für die dargestellten
> Verläufe der Beschleunigung.
> Hinweis:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{a-x}dx}=-[aln(|x-a|)+x][/mm]
> Hallo und zwar bin ich etwas verwirrt, was die
> Hilfestellung die wir bekommen haben angeht. Der Verlauf,
> um den es sich in der Aufgabenstellung handelt ist eine
> sinkende Gerade von a0 für v=0 und a0/2 für v=ve
> So was ich jetzt habe ist. Für die
> "Beschleunigungsfunktion" [mm]a(ve)=\bruch{-a0}{2*ve}*v+a0"[/mm]
Könntest du diesen Schritt noch erläutern? Ich steige hier gerade nicht durch, wie du auf obige Funktion kommst, denn sie würde m.E. nach eine Proportionalität zischen s und v implizieren.
> Und ich habe den Ansatz: [mm]a=\bruch{dv}{ds}*v[/mm]
Das wird wohl benötigt werden und ist korrekt.
>
> Jetzt habe ich das umgestellt und versucht das ein wenig
> umzustellen und komme auf folgendes Integral/Lösung:
>
> [mm]s=\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a0-\bruch{a0}{2*ve}*v} dv}[/mm]
>
> Soweit sollte es stimmen.
> Jetzt bin ich mir sicher es käme der Schritt den Hinweis
> aus der Aufgabenstellung zu verwenden, allerdings hat das v
> im Nenner ja einen Vorfaktor und im Zähler nicht, aber im
> Hinweis steht ja einfach nur x da, was ja gleich dem v
> wäre. Ich weis einfach nicht, wie ich das mit dem Hinweis
> verwalten sollte.
Also unter dem Vorbehalt, dass obiges Integral richtig angesetzt ist, ist das ganz einfach zu beantworten: ziehe den Faktor
[mm] \bruch{2v_e}{a_0}
[/mm]
vor das Integral, und du hast die gewünschte Form, um den Hinweis anzuwenden.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Vorni |
Ja klar, also meine Schritte waren wie folgt:
a*ds=v*dv
[mm] ds=\bruch{dv}{a}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{l}{ds}= \integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a} dv}
[/mm]
s=.... <- was ich schon geschrieben hab, ich hab halt die Geradenfunktion für a eingesetzt und umgestellt.
Jetzt bin ich mir bei deiner Aussage, dass ich diesen Faktor vor das Integral zieh nicht sicher, da das "-" zwischen a0 und dem [mm] \bruch{a0}{2*ve} [/mm] das doch "verhindert" oder täusch ich mich jetzt komplett?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ja klar, also meine Schritte waren wie folgt:
>
> a*ds=v*dv
>
> [mm]ds=\bruch{dv}{a}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{l}{ds}= \integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a} dv}[/mm]
>
> s=.... <- was ich schon geschrieben hab, ich hab halt die
> Geradenfunktion für a eingesetzt und umgestellt.
>
> Jetzt bin ich mir bei deiner Aussage, dass ich diesen
> Faktor vor das Integral zieh nicht sicher, da das "-"
> zwischen a0 und dem [mm]\bruch{a0}{2*ve}[/mm] das doch "verhindert"
> oder täusch ich mich jetzt komplett?
Das macht ja nichts: du musst den Faktor natürlich aus beiden Summanden im Nenner herausziehen. Der vordere Summand ist ja aber eh konstant, du kannst ihn also zur Not umbenennen, damit er schöner aussieht, aber das ändert nichts daran, dass es eine Konstante ist, genau wie in dem Tipp. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vorni |
Vielen Dank erstmal für deine Mühe.
Aber jetzt stehe ich glaube ich total auf dem Schlauch.
Ich habe jetzt weiter gemacht und zwar wie folgt:
[mm] s=\bruch{2ve}{a0}*\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a0-v} dv}
[/mm]
"Bilde" ich jetzt die Stammfunktion, komme ich zu folgendem:
[mm] s=\bruch{2ve}{a0}*[-a0*ln(|v-a0|)+v] [/mm] (hier noch die Grenzen 0;ve) dran.
Wissen will ich ja dann ve, also müsste ich es normalweiße ja umstellen, aber wie trenne ich denn das ve vom ln ohne die e-Funktion zu benutzen, da sonst ja meine anderen ve wieder "weg" sind?
edit: hatte ganz übersehen, dass ich noch einen Schritt erläutern sollte.
>Könntest du diesen Schritt noch erläutern? Ich steige hier gerade nicht durch, wie du auf obige >Funktion kommst, denn sie würde m.E. nach eine Proportionalität zischen s und v implizieren.
Also ich wollte damit nur ausdrücken, dass die Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist und zwar linear.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 09.04.2013 | | Autor: | chrisno |
>...
> [mm]s=\bruch{2ve}{a0}*\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a0-v} dv}[/mm]
Das hast Du nicht richtig gemacht. Wenn Du [mm] $\bruch{2ve}{a0}$ [/mm] ausklammerst, dann
musst Du auch bei dem $a0$ vor dem Minuszeichen etwas ändern. Klammer erst einmal nur $a0$ aus, danach 2ve.
>
> "Bilde" ich jetzt die Stammfunktion, komme ich zu
> folgendem:
>
> [mm]s=\bruch{2ve}{a0}*[-a0*ln(|v-a0|)+v][/mm] (hier noch die Grenzen
> 0;ve) dran.
>
Da sind dann auch Korrekturen fällig. Außerdem musst Du Dich entscheiden: ist es nur die Stammfunktion, oder s?
Wenn Du s berechnen willst, dann musst Du die Integrationsgrenzen einsetzen. Dann steht da kein v mehr.
> ...
>
> Also ich wollte damit nur ausdrücken, dass die
> Beschleunigung abhängig von der Geschwindigkeit ist und
> zwar linear.
Da das Bild nicht zu sehen ist, war diese Klarstellung wichtig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vorni |
Ja also das sehe ich ein, das war Murx.
Ich habe jetzt folgendes:
[mm] s=\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{a0*(1-\bruch{v}{2ve})}dv}
[/mm]
[mm] s=\bruch{1}{a0}*\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{1-\bruch{v}{2ve}}dv}
[/mm]
[mm] s=\bruch{2ve}{a0}*\integral_{0}^{ve}{\bruch{v}{2ve-v}dv}
[/mm]
Damit habe hoffentlich nicht schon komplett versagt.
Wenn ich jetzt weiter mach, komme ich auf folgendes und ein weiteres Problem
[mm] s=-\bruch{2ve}{a0}*[2ve*ln(|v-2ve|)+v] [/mm] (und die Grenzen von 0 - ve)
Grenzen dann eingesetzt müsste dann dies hier ergeben:
[mm] s=-\bruch{2ve}{a0}*[2ve*ln(|ve-2ve|)+ve]
[/mm]
Sollte oben soweit alles stimmen, ist mir jetzt aber absolut unverständlich, wie ich nach ve auflösen kann.
Wenn ich jetzt versuche mit der e-Funktion den ln quasi zu eliminieren, dann habe ich aber die anderen ve in der e-Funktion stehen und bin genau so weit wie vorher oder habe ich weiter oben doch schon einen Fehler drin?
Und danke nochmal an alle, die sich die Mühe machen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
nochmal unter dem Vorbehalt, dass deine Rechnung bis hierher richtig ist, eine kurze Antwort auf dein aktuelles Problem:
> [mm]s=-\bruch{2ve}{a0}*[2ve*ln(|ve-2ve|)+ve][/mm]
>
>
> Sollte oben soweit alles stimmen, ist mir jetzt aber
> absolut unverständlich, wie ich nach ve auflösen kann.
>
Abgesehen davon, dass du [mm] |v_E-2v_E|=v_E [/mm] übersehen hast (was aber hier unbedeutend ist): die obige Gleichung lässt sich nicht analytisch nach [mm] v_E [/mm] auflösen. Kann es sein, dass irgendwelche Hilfsmittelö wie GTR oder CAS zugelassen sind, auch vor dem Hintergrund, dass man es ja nur für konkrete Werte ausrechnen soll?
(Ich stelle mal auf teilweise beantwortet).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Di 09.04.2013 | | Autor: | Vorni |
Hallo, ja also das hatte ich nicht direkt übersehen, sonder absichtlich mal so stehen gelassen, damit man sieht wo ich die Grenze eingesetzt habe.
Mit CAS oder GTR ist das so, dass diese zwar gestattet sind, allerdings sind alle Übungsaufgaben so, dass sie auch ohne ein solches Hilfsmittel gelöst werden können.
Ich bin mir natürlich auch nicht 100 %ig sicher, ob mein Vorschlag soweit richtig ist, aber so erscheint es für mich eben. In meiner letzten Mitteilung habe ich ja nochmal die einzelnen Schritte aufgeführt, wie zu dieser Lösung kam.
Mein Ansatz war ja scheinbar auch richtig, aber ich denke ich mache noch irgendwas bei der zu Hilfenahme des Hinweißes, also bei der Anwendung der Stammfunktion falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 09.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Das Ergebnis stimmt so noch nicht. Zum einen heißt es besser l = ...
Das ist nicht so wichtig, aber wenn Du Null in die Stammfunktion einsetzt, kommt nicht Null heraus. Da fehlt also noch ein Term. Der hilft Dir, das ve unter dem ln loszuwerden.
|
|
|
|
