Forum "Integrieren und Differenzieren" - Int 1/wurzel(1-x^2-y^2) - Vorkurse

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Forum "Integrieren und Differenzieren" - Int 1/wurzel(1-x^2-y^2)

Int 1/wurzel(1-x^2-y^2) < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Int 1/wurzel(1-x^2-y^2): Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:10 Do 20.03.2008
Autor:	iMeN

Aufgabe

 Berechnen Sie das Integral 

[mm] \integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-(x^{2}+y^{2})}} d\vec{x}}
 [/mm]

D = [mm] \{(x,y) \in\IR^{2}  | |(x,y)|\le\bruch{1}{2} \}
 [/mm]

a) Auf dem Normalbereich D

b) durch eine geeignete Transformation in Polarkoordinaten

Hallo Helfer *wink*

bei b)
habe ich Integriert: r-Integration von 0 bis 1/2, [mm] \alpha [/mm] - Integration von 0 bis [mm] 2\pi [/mm]

und somit das Integral

[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^{2}}} d{r}d{\alpha}} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^{2}}{6} [/mm]

hoffentlich richtig gelöst.

bei a)

sind meine Grenzen: [mm] -\bruch{1}{2}\le [/mm] x [mm] \le\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{1}{2}\le [/mm] y [mm] \le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}} [/mm]

und nun versuche ich vergebens das Integral

[mm] \integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}} d{y}d{x}} [/mm]

zu lösen

Jetzt die Fragen:

- Sind meine Grenzen in beiden Teilaufgaben richtig?
- Wie ist der Ansatz um das Integral in Aufgabe a) zu lösen?

Bin für jeden Tipp dankbar :-)

MfG imen

Bezug

Int 1/wurzel(1-x^2-y^2): Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:26 Do 20.03.2008
Autor:	MathePower

Hallo iMeN,

> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{D}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-(x^{2}+y^{2})}} d\vec{x}}[/mm]
>
> D = [mm]\{(x,y) \in\IR^{2} | |(x,y)|\le\bruch{1}{2} \}[/mm]
>
> a) Auf dem Normalbereich D
>
> b) durch eine geeignete Transformation in Polarkoordinaten
>  Hallo Helfer *wink*
>
>
> bei b)
> habe ich Integriert: r-Integration von 0 bis 1/2, [mm]\alpha[/mm] -
> Integration von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
>
> und somit das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1-r^{2}}} d{r}d{\alpha}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\pi^{2}}{6}[/mm]
>
> hoffentlich richtig gelöst.
>

Leider nicht.

Wie ich sehe, ist die Transformation

[mm] x=r*\cos\left(\alpha\right)[/mm]
[mm] y=r*\sin\left(\alpha\right)[/mm]

Hier muss noch die

Funktionaldeterminante berücksichtigt werden.

Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der

Jacobi-Matrix

Diese ergibt sich hier zu:

[mm]\vmat{x_{r} & x_{\alpha }\\ y_{r} & y_{\alpha}}=\vmat{\cos\left(\alpha\right) & -r*\sin\left(\alpha\right) \\ \sin\left(\alpha\right) & r*\cos\left(\alpha\right)} = r[/mm]

Damit ergibt sich folgendes Integral:

[mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{\bruch{r}{\wurzel{1-r^{2}}} \ d{r} \ d{\alpha}}[/mm]

>
> sind meine Grenzen: [mm]-\bruch{1}{2}\le[/mm] x [mm]\le\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]-\bruch{1}{2}\le[/mm] y [mm]\le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}[/mm]

Richtig heisst es: [mm]-\red{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}\le y \le\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}[/mm]
>
> und nun versuche ich vergebens das Integral
>
> [mm]\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\bruch{1}{2}}\integral_{-\bruch{1}{2}}^{\wurzel{\bruch{1}{4}-x^{2}}}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}} d{y}d{x}}[/mm]
>
> zu lösen
>
>
> Jetzt die Fragen:
>
> - Sind meine Grenzen in beiden Teilaufgaben richtig?

Die Grenzen zu Teilaufgabe b) stimmen.

> - Wie ist der Ansatz um das Integral in Aufgabe a) zu
> lösen?

Hier hilft auch nur eine geeignete Transformation.

>
> Bin für jeden Tipp dankbar :-)