Int. 1/y(1-y)-3/4)) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mo 28.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\frac{1}{y(1-y)-(3/4)}dx} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe den Verdacht das meine Lösung nicht ganz so elegant gewählt ist also ich habs so gemacht:
erstmal den integranden (quadrat vervollständigt) umgeschrieben zu [mm] \frac{-1}{(y-(1/2))^2+(1/2)}
[/mm]
danach substituiert
u=y-(1/2) => du=dy
also
[mm] -\integral{\frac{1}{u^2+(1/2)}du}
[/mm]
= [mm] -2\integral{\frac{1}{2u^2+1)}du}
[/mm]
nochmals substituiert [mm] s=\sqrt{2}*u [/mm] => ds=du
[mm] -\sqrt{2}\integral{\frac{1}{s^2+1}du}
[/mm]
[mm] =-\sqrt{2}arctan(s)+c
[/mm]
nach resubstitution
[mm] \sqrt{2}arctan(\sqrt{2}(y-(1/2))+c
[/mm]
leider etwas lang und mit doppelter substitution nicht gerade schön gelöst..
fällt dazu jemand etwas eleganteres ein?
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Hallo elmanuel,
hinterher ist man immer schlauer...
> [mm]\integral{\frac{1}{y(1-y)-(3/4)}dx}[/mm]
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Ich habe den Verdacht das meine Lösung nicht ganz so
> elegant gewählt ist also ich habs so gemacht:
Ist das eigentlich wichtig?
> erstmal den integranden (quadrat vervollständigt)
> umgeschrieben zu [mm]\frac{-1}{(y-(1/2))^2+(1/2)}[/mm]
>
> danach substituiert
> u=y-(1/2) => du=dy
>
> also
>
> [mm]-\integral{\frac{1}{u^2+(1/2)}du}[/mm]
>
> = [mm]-2\integral{\frac{1}{2u^2+1)}du}[/mm]
>
> nochmals substituiert [mm]s=\sqrt{2}*u[/mm] => ds=du
>
> [mm]-\sqrt{2}\integral{\frac{1}{s^2+1}du}[/mm]
>
> [mm]=-\sqrt{2}arctan(s)+c[/mm]
>
> nach resubstitution
>
> [mm]\sqrt{2}arctan(\sqrt{2}(y-(1/2))+c[/mm]
>
>
> leider etwas lang und mit doppelter substitution nicht
> gerade schön gelöst..
>
> fällt dazu jemand etwas eleganteres ein?
Na, jetzt wo Du weißt, was herauskommt, kannst Dus natürlich eleganter zusammenfassen - also die beiden Substitutionen zu einer machen, und vielleicht sogar die quadratische Ergänzung auch noch mit hineinnehmen.
Das sieht dann als Lösung schöner aus, aber auch wenig glaubhaft. Solche Zusammenfassungen versteht man später schon selbst nicht mehr, wenn man dazu befragt wird (z.B. in einem Tutorium). Also: wozu?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mo 28.10.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke reverend!
ich habe den hang dazu dinge komplizierter zu machen als notwendig, weil ich oft den "einfachen weg" nicht gleich sehe...
deswegen dachte ich, ich habe vielleicht eine abkürzung oder so "übersehen"
aber wenn du es ähnlich machen würdest beruhigt mich das schon :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 28.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> danke reverend!
>
> ich habe den hang dazu dinge komplizierter zu machen als
> notwendig, weil ich oft den "einfachen weg" nicht gleich
> sehe...
Das macht überhaupt nichts. Hauptsache, Du findest einen Weg zur Lösung. Einfachere Wege findet man, wenn man genügend Erfahrung angesammelt hat. Mathematik kann doch auch von Menschen betrieben werden, die keine Genies sind, sondern sich ganz normal durchbeißen müssen.
> deswegen dachte ich, ich habe vielleicht eine abkürzung
> oder so "übersehen"
Das denke ich nicht.
> aber wenn du es ähnlich machen würdest beruhigt mich das
> schon :)
Jedenfalls habe ich trotz ein bisschen Integrationserfahrung den Weg zur Lösung auch nicht gleich gesehen. Ich hätte also wohl auch erst umgeformt und dann noch zweimal substituiert. Das ist jedenfalls ein wunderbar nachvollziehbarer Weg.
Das ist doch gerade die Kunst der Integration. "ex post" kann man ja immer einfach die Ableitung (viel einfacher!) der gefundenen Stammfunktion einfach von rechts nach links hinschreiben. Nur - wer sieht das denn schon vorher?
Also: in Übungsaufgaben und Klausuren geh lieber den kleinschrittigen und leicht verständlichen Weg. Und um ehrlich zu sein - in der Praxis auch. Dann kannst Du wenigstens später Deine Aufzeichnungen nachvollziehen. 
Die vermeintliche Genialität kannst Du denen überlassen, die damit unbedingt protzen müssen. Das wahre Genie macht da kein großes Aufhebens drum, sondern denkt sich seinen Teil...
lg
rev
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